¿Qué se puede decir sobre el conjunto de fracciones continuas $[0;a_1,a_2,\ldots]$ donde $a_1,a_2,\ldots$ son una permutación del conjunto de los números naturales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Vetle
Puntos
413
Tiene medida cero; véase el artículo de la Wikipedia en Khinchin constante.
maclema
Puntos
5959
Usando técnicas de ergodic theory hay algunos buenos resultados en lo que la continuación de la fracción de un número aleatorio. En particular, las entradas deben seguir el Guass-Kuzman de distribución. Esto nos dice que la entrada es 1, aproximadamente el 40% del tiempo. Así que llegar a una permutación del conjunto de los números naturales es extremadamente raro.
Sí, tiene una medida de 0 por lo que Qiaochu dijo, aunque tengo la fuerte sospecha de que probablemente hay más elemental forma de probar esto (o al menos dar un fuerte argumento heurístico.)
También es incontable, lo que significa que, en particular: 1. Existen números de este tipo que son trascendentales, 2. Existen números de este tipo que se uncomputable, 3. Es very very very very poco probable que usted será capaz de llegar con un trivial diferentes caracterización de ellos.
Ellos no forman la estructura algebraica de cualquier significado como lo que puedo decir (no es un campo, no es un anillo, estoy 100% seguro, pero no del todo convencido, no un grupo), obviamente no es denso en los reales...
En esencia, estos son casi completamente típico de la multitud innumerable de medida de 0, por lo que puedo contar.
bneely
Puntos
346
Yo podría estar diciendo algo accidental estúpido aquí, pero me deja correr el riesgo. A mí me parece que Roth teorema, que nos dice que los números algebraicos no puede ser aproximada sustancialmente mejor que cuadrática irracionalidades, implica que los coeficientes en la fracción crecer más lentamente de forma lineal (o de hecho cualquier poder que es mayor que cero). Si eso es correcto, entonces un número del tipo de las que están hablando, tendría que ser trascendental. Mi duda acerca de este argumento es que si tengo la relación entre los coeficientes y racional de la aproximación correcta.
Por supuesto, esto es ignorar completamente el hecho de que los coeficientes son una permutación de los enteros positivos y sólo con el hecho de que debe ser bastante grande. Suena como si su pregunta no es "¿Qué podemos decir acerca de un número con esa propiedad?", sino "¿Qué podemos decir sobre el conjunto de todos los números con esa propiedad?" por lo que esta observación, incluso si es correcto, puede no tener mucho que ver con tu pregunta.
sickgemini
Puntos
2001
Este es un comentario sobre gowers respuesta, pero es lo suficientemente largo que estoy haciendo de él una respuesta por su propia cuenta.
No creo que este muy de obras. Si $[a_0, a_1, \ldots, a_i]=p_i/q_i$, e $x$ es el valor de la infinita continuó fracción, entonces $$|x-p_i/q_i|= 1/(q_i q_{i+1})-1/(q_{i+1} q_{i+2}) + \cdots \approx 1/(q_i q_{i+1}).$$ Tenemos $a_{i+1} q_i < q_{i+1} < (a_{i+1} +1 ) q_i$, lo $q_{i+1} \approx a_{i+1} q_i$.
Si $a_i$ es una permutación de los enteros que no reordenar demasiado, a continuación, $a_i$ es de alrededor de $i$$q_i \approx i!$. La inversión de Stirling aproximación, $i \approx \log q_i/\log \log q_i$.
Así tenemos $$|x-p/q| \approx \frac{\log \log q}{q^2 \log q}.$$
Esto es consistente con la del teorema de Roth.
Mi nublada de memoria es que no es una conjetura que, por $\phi(q)$ una disminución de la función positiva, hay un número algebraico $x$ con una infinidad de soluciones a $|x-p/q| < \phi(q)$ si y sólo si $\sum q \phi(q)$ diverge. Que podría predecir que la tasa de error anterior es consistente con el hecho de ser algebraicas. Hace cualquiera sabe si recuerdo correctamente?
