$f \in K[X]$ grado $n$ con grupo de Galois $S_n$, ¿por qué no hay no-trivial intermedios campos de $K \subset K(a)$ $a$ a raíz de la $f$?

Question

Deje $K$ ser un campo y $f \in K[X]$ grado $n$ con grupo de Galois $S_n$. Deje $a$ ser una raíz de $f$, $L = K(a)$, y deje $E$ ser un intermedio campo de la extensión de $K \subset L$. Demostrar que $E = K$ o $E = L$.

Alguna sugerencia de por donde empezar? Gracias.

Answer 1

Sugerencia de por donde empezar. $M$ representa la división de campo:

1. Identificar el subgrupo $H=\operatorname{Gal}(M/L)\le\operatorname{Gal}(M/K)\simeq S_n$ como un grupo de permutaciones.
2. Demostrar que $H$ es un subgrupo maximal de a $S_n$, es decir, no hay subgrupos correctamente entre el$H$$S_n$.
3. Aplicar la correspondencia de Galois.

Answer 2

Deje $M$ ser la división de campo de la $f$ y deje $a_1,\ldots,a_n$ ser las raíces de $f$ donde $a_1 = a$. Cada automorphism de $M|K$ permutes el conjunto $\{a_1,\ldots,a_n\}$ y el hecho de que el grupo de Galois de $f$ $S_n$ significa que cada permutación $\sigma \in S_n$ define un automorphism mediante el envío de $a_i$$a_{\sigma(i)}$. Un automorphism $\sigma \in G(M|K)$ corrige $L$ si y sólo si $\sigma(a) = a$, es decir, $\sigma(1) = 1$ cuando se considera como un elemento de $S_n$. Eso significa que $G(M|L)$ como un subgrupo de $S_n$ es el subgrupo $S_{\{2,\ldots,n\}}$ de permutaciones de fijación $1$.

El intermedio extensiones $K \subseteq E \subseteq L$ ahora corresponden a los subgrupos $G$ $S_n$ contiene $S_{\{2,\ldots,n\}}$, por lo que tenemos que mostrar que cada subgrupo es $S_{\{2,\ldots,n\}}$ o $S_n$.

Si $G$ contiene un elemento $\sigma$$\sigma(1) \neq 1$, a continuación, contiene todas las transposiciones de la forma $$(1\; i) = \sigma^{-1} ( \sigma(1) \; \sigma(i)) \sigma,$$ (a menos que $\sigma(i) = 1$) y también todas las transposiciones $(i\; j)$$i,j \neq 1$. Desde $S_n$ es generado por las transposiciones de ello se sigue que $G = S_n$.

Edit: Para mostrar que $(1\; i) \in G$ donde $\sigma(i) = 1$ asumimos $n \geq 3$ (en el caso de $n \leq 2$ es trivial). Tomar cualquier $j$$j \neq 1$$j \neq i$. A continuación,$(1\;i) = (i\;j)(1\;j)(i\;j) \in G$.