Invariantes subalgebra de una Mentira álgebra bajo un automorphism del diagrama de Dynkin

Question

De todos los automorfismos de un (finito-dimensional, semisimple) se encuentran álgebra que inducen a un particular automorphism de su diagrama de Dynkin, hay uno en particular que es "mejor" que los otros?

La pregunta surgió mientras resuelve el siguiente ejercicio en Fulton y Harris (22.24(b), en la página 362 en mi copia) pide

Encontrar el invariante subalgebra de las involuciones de $(A_n)$$(D_n)$, y para una automorphism de orden tres de $(D_4)$.

Aquí "invariantes subalgebra" significa invariantes bajo un automorphism de la correspondiente Mentira álgebra $\mathfrak{g}$, lo que induce a un particular automorphism del diagrama de Dynkin. Mi pregunta es ¿cómo elegir el automorphism de $\mathfrak{g}$, porque la respuesta puede ser diferente dependiendo de lo que usted elija. Por ejemplo, en el caso de la Mentira álgebra $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl_{n+1}}$ con el diagrama de Dynkin $A_n$ (un camino de longitud $n$), los siguientes automorfismos de a $\mathfrak{g}$ tanto invertir el orden de los nodos.

$$\alpha: E_{i,j} \mapsto (-1)^{j-i+1} E_{n+2-j, n+2-i}$$ $$\beta: E_{i,j} \mapsto -E_{n+2-j, n+2-i}$$ $E_{i,j}$ es la unidad de la matriz con 1 en la posición $(i,j$). Ellos son, tanto en la reflexión a través de la antidiagonal, pero con diferente signo del cambio de los patrones.

En ambos casos, en el invariante subalgebra, las entradas fuera de la antidiagonal se emparejaron por la reflexión a través de la antidiagonal seguido por un posible cambio de signo. Sin embargo, suponiendo que $n$ es impar, por $\alpha$, el invariante subalgebra ha arbitrario de entradas en la antidiagonal, mientras que para $\beta$, el invariante subalgebra tiene cero entradas en la antidiagonal.

Desde el invariante subalgebras de $\alpha$ $\beta$ no tienen la misma dimensión, se deduce que el $\alpha$ $\beta$ no conjugada en $Aut(\mathfrak{g})$.

La solución para este ejercicio en Fulton y Harris utiliza $\alpha$, para calcular la respuesta. Entonces, ¿hay alguna razón $\alpha$ es una "mejor" opción de automorphism de $\beta$ ? La única razón que se me ocurre es que el invariante de álgebra para $\alpha$ es mayor.

Tanto en $\alpha$ $\beta$ inducir la involución en el diagrama de Dynkin (y corregir la Cartan subalgebra que consiste en la diagonal de las matrices). Se diferencian por una interna automorphism ($\alpha \beta^{-1}$ es la interior), pero sus invariantes subalgebras todavía puede ser muy diferente.

Answer 1

Es cierto que tanto el automorfismos $\alpha$ $\beta$ estabilizar el Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$ que consiste en la diagonal de las matrices, y ambos estabilizar la base de la raíz

$B:= (\alpha_i : diag(c_1, ..., c_n) \mapsto c_i-c_{i+1})_{i=1,..., n}$.

Pero sólo $\alpha$ estabiliza toda la épinglage $(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, B, (E_{i+1,i})_{\alpha_i})$ que, además, contiene fijo vectores de la base de la raíz de los espacios de la $\alpha_i$ aquí $E_{i+1, i}$. Un automorphism de $\mathfrak{g}$ que estabiliza todos estos datos se determina únicamente por sus inducida por la acción en el diagrama de Dynkin: que es el contenido de Corollaire 1 a la Bourbaki proposición cuya prueba (pero no afirmación) dudo en MSE/764696. Además, si usted arreglar cualquier otro épinglage y tomar la Mentira de álgebra automorphism $\alpha'$, que corresponde a la misma diagrama de Dynkin automorphism, con respecto a que épinglage, a continuación,$\alpha = \gamma \circ \alpha' \circ \gamma^{-1}$$\gamma \in Aut_0(\mathfrak{g})$, por lo que, en particular, $\alpha$ $\alpha'$ tienen los mismos invariantes subalgebra. No sé si esto es lo que Fulton y Harris tenía en mente, pero creo que da una razonable perspectiva.

No sé si entre los automorfismos que inducen una cierta automorphism del diagrama de Dynkin, los que estabilizar una épinglage tienen el mayor invariante álgebras. Suena razonable.