Calcular $1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+3+\cdots+n)$

Question

¿Cómo puedo calcular $1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+3+\cdots+n)$ ? Sé que $1+2+\cdots+n=\dfrac{n+1}{2}\dot\ n$ . Pero, ¿qué debo hacer ahora?

Answer 1

Perdón por la horrible resolución. En cualquier caso: Ese es el triángulo de Pascal. El azul son los números triangulares. El rojo es la suma del azul (¿puedes ver por qué?)

Ahora puedes utilizar la fórmula de los elementos del triángulo de Pascal: El $n$ la fila y $r$ columna es $\dbinom nr$ . (Se empieza a contar las filas y columnas desde 0. Las filas se pueden contar desde la izquierda o la derecha, no importa).

La respuesta es $\dbinom{n+2}3=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3!}$ .

Answer 2

Una pista: utilizar también que $$ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6 $$

$$ 1 + (1+2) + \dots + (1 +2+\dots +n) = \frac{1(1+1)}2 + \frac{2(2+1)}2 + \dots + \frac{n(n+1)}2 \\=\frac 12 \left[ (1^2 + 1) + (2^2 + 2 ) + \dots + (n^2 + n) \right] \\=\frac 12 \left[ (1^2 + 2^2 + \dots + n^2) + (1 + 2 + \dots + n) \right] $$

Answer 3

$$\sum_{k=1}^n(1+\ldots+k)=\sum_{k=1}^n\frac{k(k+1)}2=\frac12\left(\sum_{k=1}^nk^2+\sum_{k=1}^nk\right)$$

y ahora

$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

Answer 4

$$\begin{align} &1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+3+\cdots+n)\\ &=n\cdot 1+(n-2)\cdot 2+(n-3)\cdot 3+\cdots +1\cdot n\\ &=\sum_{r=1}^n(n+1-r)r\\ &=\sum_{r=1}^n {n+1-r\choose 1}{r\choose 1}\\ &={n+2\choose 1+2}\\ &={n+2\choose 3}\\ &=\frac16 n(n+1)(n+2) \end{align}$$

Answer 5

HINT :

Es la suma de $\sum \frac {n(n+1)}2$ de 1 a n

que es igual a $\sum (\frac {n^2}2 + \frac n2)$ de 1 a n