¿Por qué es este paquete de línea claramente amplia?

Question

La lectura de un libro me encontré con el siguiente reclamo, que no entiendo. Deje $X$ ser una suave curva proyectiva sobre $\mathbb{C}$, e $q\in X$ un punto racional. Denotar por $\pi_i: X^n\to X$ $i$- th proyección de la cartesiano $n$-producto de la curva de a $X$ sí. El reclamo es que

La línea bundle $\bigotimes_{i=1}^n \pi_i^* \mathcal{O}_X(q) $ es claramente suficiente.

Puede que me apunte en la dirección correcta, por favor? Hay un criterio específico para la amplitud que debo ver inmediatamente es satisfecho?

Sé que, siendo cada una de las $\pi_i$ finito y surjective, cada $\pi_i^*\mathcal{O}_X(q)$ es amplio porque cada una de las $\mathcal{O}_X(q)$ es. Pero, ¿cómo puede uno concluir de aquí que el producto tensor de ellos es?

PS: ¿hay alguna manera de ver este geométricamente?

Answer 1

Geométricamente el producto tensor $L$ es amplio porque lo suficientemente alta potencia $L^N$ es el producto tensor de pullbacks de muy amplio bultos en $X$.

En más detalle, decir la $N$veces tensor de potencia $\mathcal{O}_X(q)^N$ es muy amplio, y que las secciones $s_1, \dots, s_m$ projectively incrustar $X$. Para cada una de las $i = 1, \dots, n$$j = 1, \dots, m$, vamos a $s_{i,j} = \pi_i^* s_j$ denotar el pullback de $s_j$ por la proyección a la $i$th factor. El $m^n$ secciones $s_{1,f(1)} \otimes \dots \otimes s_{n,f(n)}$ $L^N$ ($f$ rangos de todas las asignaciones de$\{1, \dots, n\}$$\{1, \dots, m\}$) insertar el $n$-pliegue $X \times \dots \times X$.

FWIW, las secciones de la retirada de $\pi_i^* \mathcal{O}_X(q)$ son "no-constante sólo en el $i$th factor", por lo que parece que no los puntos separados, salvo que (posiblemente) en el $i$th factor. :)