Isometría en compacto métrica espacios

Question

¿Por qué es el verdadero?

Si $(X,d)$ es un espacio métrico compacto y $f: X \rightarrow X$ no es expansiva (que yo.e $d(f(x),f(y)) \leq d(x,y)$) y surjective, a continuación, $f$ es una isometría.

Answer 1

Considerar el mapa de $f\times f: X\times X \mapsto X\times X$. Es continua (porque f) y surjective (porque f). Considere la posibilidad de la órbita de $(x,y)$ bajo $f$, es decir, la secuencia de $p_n=(f^n(x), f^n(y))$. Debido a $X\times X$ es compacto, tiene una convergente larga, por lo tanto para cualquier $\epsilon$ (lo siento, espero no epsilons, pero no puede), hay un $N_0, k>0$, de tal manera que $f^{N_0}(x)$ $\epsilon$ cerca de $f^{k+N_0}(x)$ $f^{N_0}(y)$ es epsilon cerca de $f^{k+N}(y)$, por lo tanto $d(f^{k+N_0}(x), f^{k+N_0}(y))$ $2\epsilon$ cerca de $d(f^{N_0}(x), f^{N_0}(y))$. Entonces, debido a $f$ no ampliar distancias, la inducción muestra que el mismo es cierto para todos los $N \geq N_0$. Pero queremos más. Queremos que esto sea cierto para algunos fijos $N$ (y la variación de $k$)$(x,y)$. Que es alcanzable por la compacidad de la siguiente manera:

Como ya hemos demostrado (en sustitución de $\epsilon$$\epsilon/2$) tenemos a $d(f^{k+N_0}(x), f^{k+N_0}(y))$ $\epsilon$ cerca de $d(f^{N_0}(x), f^{N_0}(y))$. Debido a $f$ no ampliar distancias (y de la desigualdad del triángulo), esto significa que para cualquier $(v,w)$ $d(v,x)<\epsilon/4$ $d(w,y)<\epsilon/4$ la tenemos $d(f^{k+N_0}(v), f^{k+N_0}(w))$ $2\epsilon$ cerca de $d(f^{N_0}(v), f^{N_0}(w))$. Ahora cubierta de $X$ $\epsilon/4$ bolas y de selección de un número finito de subcover. Para cualquier par de centros de $(x_i,y_i)$ de las bolas que tienen algunos $N_0$ da $\epsilon$-cercanía, y por lo tanto da $2\epsilon$ cercanía a la pelota, por lo tanto el máximo de $M$ estos $N_0$'s de da $2\epsilon$ cercanía en todas partes.

Ahora podemos probar a $f$ es una isometría. Para obtener contradicción, supongamos que usted tiene $(x,y)$$d(f(x), f(y))< d(x,y)$, por lo tanto para algunos $\epsilon$$d(f(x), f(y))< d(x,y)-2\epsilon$. Entonces para cualquier $k>0$,$d(f^k(x), f^k(y))< d(x,y)-2\epsilon$. Por último utilizamos surjectivity. Tome $(a,b)$$f^M(a)=x, f^M(b)=y$. A continuación, $d(f^{M+k}(a), f^{M+k} (b))= d(f^k(x), f^k(y))$ $2\epsilon$ cerca de $d(f^M (a), f^M(b))=d(x,y)$ algunos $k$, contradicción.

Answer 2

De hecho, más es cierto. Para un compacto, espacio métrico, $f$ locales no expansivo $\implies$ $f$ local isometría.

Este es el teorema 4.2 en el papel del siguiente enlace.

http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pjm/1102970464