El teorema de Arrow es un resultado muy clásico de la teoría de la elección social, que afirma a grandes rasgos que cualquier procedimiento de votación razonable es dictatorial o está sujeto al voto táctico. Más concretamente, existe un conjunto de votantes y un conjunto de al menos 3 candidatos; cada votante clasifica a los candidatos del mejor al peor, y un sistema de votación extrae una ordenación colectiva de los candidatos a partir de las preferencias individuales. Los criterios de razonabilidad son:
- Independencia de Alternativas Irrelevantes (IIA) --- si se fija a los candidatos A y B, y se alteran las valoraciones de algún otro candidato C, entonces la posición relativa de A y B no debería cambiar.
- Monotonicidad --- si subes a un candidato A en la lista de preferencia de algún votante, entonces A no bajará en la preferencia colectiva.
- No imposición --- si todo el mundo tiene las mismas preferencias, entonces la preferencia colectiva es la misma.
La afirmación es que si se cumplen todos estos criterios, entonces existe un dictador, es decir, un votante tal que la preferencia colectiva es simplemente su preferencia.
El teorema de Gibbard-Satterthwaite es un teorema similar, con la gran diferencia de que ahora el sistema de votación produce un único ganador, en lugar de un orden. Del mismo modo, si se asume un criterio de no imposición (cada candidato puede ganar) y la ausencia de voto táctico (que se analiza más adelante), entonces la regla es dictatorial. Se dice que hay voto táctico, si un votante que conoce los votos de todas las demás personas tiene el incentivo de votar no según sus verdaderas preferencias. Esto parece estar estrechamente relacionado con la monotonicidad.
Lo que me intriga es lo siguiente: ¿son equivalentes estos teoremas, en el sentido de que se puede deducir uno del otro mediante un simple argumento?
Parecería que dado un sistema de votación como en el teorema de Arrow, se puede obtener un sistema de votación como en el teorema de Gibbard-Satterthwaite, simplemente seleccionando al candidato en la parte superior de la clasificación.
A la inversa, dado un sistema de votación como en el teorema de Gibbard-Satterthwaite, se puede construir un sistema de votación para el teorema de Arrow de la siguiente manera: Para seleccionar al candidato que encabeza el orden, basta con definirlo como ganador de la elección (utilizando el sistema del teorema de G-S). A continuación, hay que deshacerse de él de alguna manera (¿moverlo al final de todas las listas de preferencias?, ¿hacer las elecciones con un candidato menos? Y así sucesivamente, construir inductivamente el ordenamiento completo de los candidatos.
No puedo ver si el procedimiento funciona (el problema en cuestión es algo vago), pero parece que debería. ¿Funciona, hay alguna referencia para ello, y hay una manera más simple / más elegante?
Descargo de responsabilidad: Tengo una experiencia bastante limitada en teoría de juegos, teoría del voto, etc. Mi interés por el Teorema de Arrow surge de circunstancias un tanto aleatorias, incluida la elegante demostración mediante ultrafiltros.
