$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n)!}{n^{2n}}$

Question

Estoy tratando de mostrar a $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n)!}{n^{2n}}$$

Traté de romper hacia abajo, y se quedó atascado al intentar $\left( \frac{2^{n}n!}{n^{n}} \right)$ va a 0.

Answer 1

Deje $x_n=\dfrac{(2n)!}{n^{2n}}$. Entonces

$$\begin{align*} \frac{x_{n+1}}{x_n}&=\frac{(2\big(n+1)\big)!}{(n+1)^{2(n+1)}}\cdot\frac{n^{2n}}{(2n)!}\\\\ &=\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}\\\\ &=\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\left(1-\frac1{n+1}\right)^{2(n+1)-2}\\\\ &=\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\left(1-\frac1{n+1}\right)^{2(n+1)}\left(\frac{n+1}n\right)^2\\\\ &=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\left(1-\frac1{n+1}\right)^{2(n+1)}\;. \end{align*}$$

Por lo tanto,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\left(1-\frac1{n+1}\right)^{2(n+1)}=\frac4{e^2}<1\;,$$

y, por tanto,$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$.

Answer 2

Por AM-GM hemos

$(2n-2)! =2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n-2) \leq (\frac{2+3+..+2n-2}{2n-3})^{2n-3}=n^{2n-3}$

Así

$$0 \leq \frac{(2n)!}{n^{2n}} \leq \frac{n^{2n-3}(2n-1)(2n)}{n^{2n}}=\frac{(2n-1)(2n)}{n^{3}}$$

Answer 3

Alternativa (guidnece) solución:

Considere la posibilidad de $\sum\left( \frac{(2n)!}{n^{2n}} \right)$, que se suma converge, se puede utilizar la relación de la prueba para demostrar que, por lo tanto el $\left( \frac{(2n)!}{n^{2n}} \right)\to 0$ (por Qué?)

Answer 4

No es cierto que $\left( \frac{(2n)!}{n^{2n}} \right)=\left( \frac{2^{n}n!}{n^{n}} \right)$ El lado izquierdo tiene un factor de $2n-1$ en el numerador, mientras que el lado derecho no. Pero usted puede usar Stirling aproximación a decir $$\frac {(2n)!}{n^{2n}}\approx \frac {(2n)^{2n}}{(ne)^{2n}}\sqrt{4 \pi n}$$ and the powers of $\frac 2e$ llevarlo a cero.

Answer 5

Definitivamente, usted no puede escribir $(2 n)!$$2^n n!$.

El siguiente bound es fácil de probar: $n! \le n^n$ (considere el $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \le n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^n$), pero que no es suficiente para usted.

Más bound puede ser obtenido considerando: $$ (n!)^2 = (1 \cdot n) \cdot (2 \cdot (n - 1)) \cdot \ldots \cdot (n \cdot 1) $$ Ahora queremos un obligado para los factores. Asumir la función: $$ f(k) = k (n + 1 - k) $$ Para obtener el máximo que se establezca $f'(k) = 0$, es decir, $n + 1 - 2k = 0$, lo que da $k^* = \frac{n + 1}{2}$$f''(k^*) = - 2 < 0$, este es el máximo. Así: $$ \begin{align*} (n!)^2 &\le \left( \frac{n + 1}{2} \right)^{2 n} \\ n! &\le \left( \frac{n + 1}{2} \right)^n \end{align*} $$ Esto debería hacer que el resto de la prueba simple.