Es la integral de la $\int_0^{\infty} \sin(e^x) \, dx$ convergente?

Question

Alguien me puede ayudar con este problema? He probado método de sustitución, pero no sé cómo continuar. Deje $u = e^x$$du = u\,dx$, lo $dx = du/u$. Así tenemos, $$ \int \sin(u) \frac{1}{u} du = \int \frac{\sin(u)}{u} du.$$

Answer 1

Integrar por partes, el uso de $u=e^{-x}$$dv=e^x \sin(e^x)\,dx$.

A continuación, $du=-e^{-x}\,dx$ y podemos tomar $v$$-\cos(e^x)$. El resto es fácil, la integral terminamos con converge.

Añadido: La integral de $0$ $B$es $$\left. -e^{-x}\cos(e^x)\right|_0^B -\int_0^B e^{-x}\cos(e^x)\,dx.$$ No hay ningún problema como $B\to\infty$, ya que el $|\cos(e^x)|$ está acotada.

Answer 2

He aquí una alternativa (y primaria) manera de resolver el problema. Considere la posibilidad de $$ f(x) = \int_x^{x+1} \pecado e^t \,dt. $$ Haciendo la sustitución de $v = e^t,$ e integrando por partes, se obtiene $$ e^{x} f(x) = \cos e^x - e^{-1}\cos e^{x+1} + r(x), $$ donde $|r(x)|< e^{-x}.$ En consecuencia, la integral en cuestión, es equivalente a calcular el $f(0) + f(1) + \cdots, $ que es ahora una suma telescópica, con el resto término a $0$ $x \to \infty.$

Comentario: Este es esencialmente Andre Nicolas solución del escrito de forma ligeramente diferente.