Solución General a $\frac{df}{dx}=3f$

Question

Estoy aprendiendo a hacer cálculos y se presentó con un ejemplo que estoy luchando un poco de entender. ¿Por qué $\frac{df}{dx}=3f$ tiene la solución general de la $f(x)=Ce^{3x}$?

Answer 1

Si estamos preocupados acerca de los peligros de la división por $0$, vamos $$g(x)=\frac{f(x)}{e^{3x}}.$$ Diferenciar, mediante el Cociente de la Regla. Tenemos $$g'(x)=\frac{e^{3x}f'(x)-f(x)(3e^{3x})}{(e^{3x})^2}.\qquad\qquad(\ast)$$ El uso de $f'(x)=3f(x)$ podemos ver que el numerador en $(\ast)$$0$. Por lo $g'(x)$ es idéntica $0$, y por lo tanto $g(x)$ es una función constante $C$. Por lo tanto $$C=\frac{f(x)}{e^{3x}},$$ y $f(x)=Ce^{3x}$.

Answer 2

Ha $ \frac{dy}{dx} = 3y$. Multiplicar por $x$ y dividir por $y$ obtendrá $\frac{1}{y}dy=3dx$. Haciendo de la integración tendrás: $\int \frac{1}{y}dy=\int3dx$, y después de resolver la integral tendrás $\log{y} = 3x + c$. Mirando el exponente, obtendrá $y = e^{3x}e^{c}$ donde $c^{,} = e^{c}$ es una constante positiva.