Grupo cohomology frente a deRham cohomology con trenzado de los coeficientes de

Question

Deje $G$ ser un simple simplemente conectados a la Mentira de grupo, vamos a $M$ 3 colector y $P \to M$ principal $G$-bundle. Deje $A$ ser un piso de conexión en este grupo, y vamos a $\text{Ad} P$ ser el asociado vector paquete. La conexión de $A$ da lugar a un trenzado de deRham complejo con cohomology $H^i(M,\text{Ad} P)$. El uso de la holonomy mapa para identificar (medidor de clases de equivalencia de la plana con conexiones con (conjugacy clases de) las representaciones de $\pi_1(M)$, vamos a $\mathfrak{g}_A$ el valor del $\pi_1(M)$-módulo de acción dado por la composición de la representación con el adjunto de la representación de $G$. Deje $H^i(\pi_1(M),\mathfrak{g}_A)$ ser el grupo correspondiente cohomology grupos (cf. por ejemplo, Brown).

Ahora, me gustaría tener isomorphisms $H^i(M, \text{Ad} P) \to H^i(\pi_1(M), \mathfrak{g}_A)$$i = 0, 1$.

En el caso de que $M$ es una superficie de género, al menos 2, en lugar de un 3-colector, esto es trabajado en papeles de Goldman, pero ¿qué podemos decir en 3 dimensiones de la instalación?

Answer 1

En general, una retorcida coeficiente de sistema en un colector $M$ (también llamado un sistema local por más algero-geométricamente personas de mente) está dada por una representación de $\pi_1(M)$ (el holonomy representación, también llamado el monodromy representación por más algebrao-geométricamente personas de mente). Por el contrario, cualquier representación de la $\pi_1(M)$ da un trenzado coeficiente de sistema de $M$.

(No hay necesidad de $M$ a un colector de aquí; cualquier espacio para que los habituales de la teoría de $\pi_1$ y cubriendo los espacios que pasa a través estaría bien.)

Si $V$ es la representación de $\pi_1(M)$, dando lugar a la trenzado coeficiente de sistema de $\mathcal L$, luego habrá un mapa de $H^i(\pi_1(M), V) \to H^i(M,\mathcal L)$. Sin embargo, estos no serán isomorphisms en general, a menos que $M$ es esférico, es decir, si su cobertura universal $\tilde{M}$ es contráctiles, es decir, si $M$ $K(\pi,1)$ ( $\pi = \pi_1(M)$ ). (Aquí estoy recordando la base topológica interpretación de grupo cohomology, que se puede encontrar en muchos lugares).

Lo que sucede en general es que hay una secuencia espectral (un caso especial de la Hochschild--Serre espectral de la secuencia) $$H^i(\pi_1(M), H^j(\tilde{M},V) ) \implies H^{i+j}(M,\mathcal L).$$

Tenga en cuenta que si $M$ es hiperbólica (o, más en general, negativamente curvas), luego su cobertura universal es contráctiles, y por lo que uno hace conseguir su deseado isomorfismo.

Agregado: para conseguir una sensación para lo que puede suceder si $\tilde{M}$ es no contráctiles, usted puede considerar el caso cuando se $M = \mathbb RP^2$, por lo que $\tilde{M}$ $S^2$ $\pi_1(M)$ es cíclico de orden $2$, actuando en $S^2$ por el antipodal mapa. Tome $V$ a ser la representación trivial ($\mathbb Z$o $\mathbb Z/2\mathbb Z$, por ejemplo). Luego de que la anterior secuencia espectral proporciona una manera de calcular el cohomology (con $\mathbb Z$-coeficientes, o $\mathbb Z/2\mathbb Z$-coeficientes) en términos del grupo cohomology de la cíclico grupo de orden dos que actúan sobre el cohomology de la esfera. (Así que actúa trivialmente en $H^0$, y por $-1$$H^2$.)

Por supuesto, usted podría hacer el análogo cálculo de $\mathbb R P^3$ así (el que está más directamente relacionado con tu pregunta).