de Moivre la identidad de $$ (\cos \theta + \sin \theta)^n = \cos n\theta + \sin n\theta $$ sólo se aplica como se escribe cuando se $n \in \mathbb{Z}$. si el exponente es una fracción $\frac{m}{n}$ entonces no va a ser $n$ valores de $(\cos \theta + i \sin \theta)^{\frac{m}{n}}$, mientras que para irracional $\alpha$ el conjunto $\{e^{i\alpha (\theta +2\pi k)} \}$ es un subconjunto denso de la unidad de círculo.
sin embargo, $e^{i \alpha \theta}$ se distingue entre los valores de $(e^{i\theta})^\alpha$, incluso cuando se $\alpha$ no es un número entero. así, podemos proceder de la siguiente manera?
al $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}4$ $$ (\cos \theta + \sin \theta)^\alpha = \cos^{\alpha}\theta(1+i \tan \theta)^{\alpha} = \cos \alpha \theta + \sin \alpha \theta \etiqueta{?} $$ usando el teorema del binomio, que converge para el intervalo especificado de valores de $\theta$, tenemos:
$$ \cos \alpha \theta = \cos^{\alpha}\theta \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \binom{\alpha}{2m} \bronceado^{2m}\theta \etiqueta{1} $$ si (1) es verdadera, entonces si $0 \lt \alpha, \beta \lt \frac{\pi}4$ tendríamos $$ \cos^{\alpha}\beta \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \binom{\alpha}{2m} \bronceado^{2m}\beta = \cos^{\beta}\alpha \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \binom{\beta}{2m} \bronceado^{2m}\alpha $$
