Resolución de ecuaciones polinómicas utilizando más radicales

Question

Es bien sabido que uno no puede resolver cada ecuación polinómica $\Bbb Q$ utilizando sólo los radicales. En otras palabras, vamos $A_n = \{x^n - a\mid a \in \Bbb Q\}$, $A = \cup_n A_n$ y $\bar{\Bbb Q}$ la clausura algebraica de $\Bbb Q$.

Sabemos que la división de campo de la $A$ $\Bbb Q$ no $\bar{\Bbb Q}$. Dado esto, hay un subconjunto $S$ de todos los polinomios irreducibles sobre $\Bbb Q$ cuya división de campo es, de hecho, todos los de $\bar{\Bbb Q}$?

Podemos decir nada que no trivial sobre este tipo de series(como la búsqueda de un mínimo de ellos, si es que existe)? Podemos definir este conjunto por inducción sobre el grado del polinomio? Por ejemplo, las raíces cuadradas son suficientes para resolver ecuaciones cuadráticas y así sucesivamente hasta el quinto grado, donde los radicales ya no es suficiente.

Hay un montón de preguntas aquí, pero yo sólo estoy interesado en la comprensión de estos conjuntos en general y sólo se sugieren preguntas como, posiblemente, muy interesante.

Answer 1

Incluso para los polinomios de hasta grado cuatro, tenga en cuenta que la división de los polinomios $x^2-a$, $x^3-a$, $x^4-a$ para $a \in \mathbb Q$ no es suficiente - para Cardano fórmulas para el tercer grado, por ejemplo, puede que tengamos que tomar la tercera raíz de un elemento que ya viven en algunos cuadrática extensión de $\mathbb Q$. Lo que sucede para el soluble por radicales de las ecuaciones es que
1. sus grupos de Galois (por definición) sólo contienen factores cíclicos en su descomposición de la serie,
2. cíclico grupos que corresponden (a través de las extensiones de Kummer) a las ecuaciones solubles por radicales.

Así que, para encontrar una "completa" conjunto de polinomios, usted tiene que transferir tanto 1. y 2. sobre el conjunto de los polinomios. Incluso la pregunta 1. encima es duro (es conocido como el inverso de la teoría de Galois: que grupos finitos aparecen como grupos de Galois sobre los racionales? No creo que la respuesta es conocido en todos los casos, o incluso cuando se reducen a simples grupos finitos - por ejemplo, es el Monstruo de grupo de un grupo de Galois sobre los racionales ?). Pregunta 2. es incluso menos bien definido. Uno podría pensar en la división de punto en curvas elípticas para generar extensiones con grupo de Galois $\mathrm{PGL}_2 (\mathbb Z/n\mathbb Z)$.

Answer 2

Lo que usted quiere implica que un irreducible f no en S (y cuyas raíces son obviamente en $\bar{\Bbb Q}$) es tal que tiene una raíz perteneciente a la Unión de algunos campos partir de irreducible $g_1$, $g_2$,... $g_n$ cada pertenece a S – {f}. Esto no es posible, porque dos distinto Polinomio irreducible en Z tienen su independiente raíces Q linealmente entre sí. (Es muy difícil para mi escribir en inglés, lo siento si no bien explicado). Mi respuesta no es posible, necesita de S.