Primaria prueba de un límite en el orden de la función de partición

Question

Estoy interesado en el orden asintótico de la función de partición $p(n)$.

El papel Asintótica Fórmulas de Combinatoria Análisis demuestra que hay constantes $A$,$B$ tal que $e^{A\sqrt{n}} < p(n) < e^{B\sqrt{n}}$ por medios elementales. Aquí es el argumento de uno de los lados de la desigualdad, es simplemente el paso inductivo que no he entendido:

Supongo que $p_r(n)$ se define a ser $0$ negativos $n$, entonces el inequalty (2.22) no se cumple para estos $n$. En el que caso de que la suma de $\{n^{s-1} + (n-s-1)^{s-1} + (n-2s-2)^{s-1} + \ldots\}$ debe ser finito, terminando antes de $n-ks-k$ se convierte en negativo. Por otro lado el uso de la antena telescópica de abajo a $n^s$ sugiere que la suma es infinita, de lo contrario acabaríamos con $n^s - (n-ks-k)^{s-1}$ y son incapaces de tirar la $k$ plazo.

Gracias a cualquiera que me ayude a entender este argumento.

Answer 1

Escribir $n = Q(s-1)+R$$0 \le R < s-1$. El término final en la primera línea de la inducción de paso (es decir, los tres de la línea de visualización de la ecuación) es $R^{s-1}$. Como usted ha señalado, como lo ha escrito el autor parece dar a entender que el término final en la línea siguiente de la desigualdad debe ser $(R^s - (R-(s-1))^s)/s(s+1)$. Pero, de hecho, $R^s/s(s+1)$ va a hacer, porque $R^{s-1} \ge R^s/s(s+1)$ (recordemos que $R < s-1$) y, a continuación, su suma telescopios bien.