Si $G$ es un grupo finito s.t. $|G|=4$, es abelian ?

Question

Si $G$ es un grupo finito s.t. $|G|=4$, es abelian ? Para mí es isomorfo a $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$ o $\mathbb Z/4\mathbb Z$, pero un amigo me dijo que ellos no son el único grupo de orden 4, y existen algunos que no abelian. ¿Tienes ejemplo ?

Answer 1

No, esos son los únicos ejemplos. Puedes probarlo por solo escribir las posibles tablas de multiplicar de un grupo de orden $4$ - tus elecciones serán muy limitados.

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De hecho, cualquier grupo de orden $p^2$, $p$ prime, es abelian - y es cíclico o de un producto de dos grupos cíclicos. Este es un buen ejercicio en el estudio de los centros de $p$-grupos.

Answer 2

Si $G$ es cíclica, $G$ es abelian. Y si $G$ no es cíclica, el orden de todos los elementos son iguales a $2$. Y un grupo cuyos elementos son de orden $2$ es abelian.

En cualquiera de los casos, un grupo de orden $4$ es abelian.

Answer 3

Si $G$ tiene un elemento de orden $4$ $G=\mathbf{Z}/4$ lo contrario $G$ tiene al menos dos elementos de orden $2$ $a,b$, $bab^{-1}=a$ implica que $G=\mathbf{Z}/2\times \mathbf{Z}/2$, $bab^{-1}=b$ implica $ab^{-1}=1$ $b=a$ imposible, $bab^{-1}=1$ implica $ba=b, a=1$ imposible.

Answer 4

Sin depender de las órdenes de un elemento o de cualquier otra cosa, usted puede comprobar esto desde el suelo mediante la aplicación de la pura definición de un grupo.

Suponga que $G$ es un grupo de orden $4$, decir $G=\{e,a,b,c\}$ donde $e$ denota el elemento de identidad y todos los elementos son diferentes. Suponga que $G$ no es abelian, entonces (tal vez después de cambiar el nombre de los elementos), podemos asumir que $ab \neq ba$ $a$ $b$ no conmutan. Ahora, considere el elemento $ab$ el cual debe ser en $G$, ya que el conjunto es cerrado bajo la multiplicación del grupo.

Si $ab=e$,$a=b^{-1}$, y, por tanto, $a$ $b$ viaje, que no es el caso.
Si $ab=a$,$b=e$, que no es el caso.
Si $ab=b$,$a=e$, que no es el caso.

Por lo tanto $ab=c$. Pero también se $ba \in G$. No puede ser igual a $ab$ por supuesto.

Si $ba=e$, luego de nuevo a $a=b^{-1}$, que no es el caso.
Si $ba=a$,$b=e$, que no es el caso.
Si $ba=b$,$a=e$, que es el final de la contradicción.

Así que después de todo, $G$ debe ser abelian.

Nota con una similar un poco más sutil razonamiento se puede demostrar que un grupo de orden $5$ debe ser abelian. Pruébalo, o ver aquí.

Answer 5

Todos los grupos de orden 4 se isomorfo a $Z_4$ o el Klein de cuatro grupos. Ambos de estos dos grupos son abelian, por lo que todos los grupos de orden 4 se abelian.