locus de círculos móviles con radio cambiante

Question

Supongamos que una curva, $\gamma(t) = (x(t),y(t),R(t))$ que describe los centroides, $(x(t),y(t))$ y los radios, $R(t)$ de un número infinito de círculos parametrizados por $t\in(a,b)$ . Me gustaría encontrar una ecuación para la(s) curva(s) que delimita(n) el área barrida por los círculos, ¿alguna idea de cómo podría hacerlo?

Por ejemplo, si ambos $(x(t),y(t))$ y $R(t)$ varían linealmente, la respuesta sería dos semicírculos (basados en el primer y el último círculo) con líneas rectas que los conecten (la pendiente de la línea depende de la tasa de cambio de $\gamma(t)$ ).

Creo que puede ser necesario imponer una condición, algo así como $||\dot{R}(t)||<||\left(\dot{x}(t),\dot{y}(t)\right)||$ para garantizar que cada círculo tenga al menos un punto en la curva límite

Answer 1

Esto se llama encontrar el sobre de una familia de curvas.

Supongamos que la familia de curvas, parametrizada por $t$ se define por $$F_t(x,y)=0$$ Encontramos un punto en la envolvente resolviendo $$F_t(x,y)=0\quad\text{and}\quad\frac{\partial F_t(x,y)}{\partial t}=0$$ simultáneamente para un determinado $t$ .

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Por ejemplo, supongamos que la familia de curvas es $$(x-at)^2+(y-bt)^2-(R+ct)^2=0\tag{1}$$ Tomando el parcial con respecto a $t$ produce $$-2a(x-at)-2b(y-bt)-2c(R+ct)=0\tag{2}$$ Para resolver $(1)$ y $(2)$ simultáneamente, que $u=\frac{x-at}{R+ct}$ y $v=\frac{y-bt}{R+ct}$ . Entonces sólo tenemos que resolver $$u^2+v^2=1\quad\text{and}\quad au+bv=-c\tag{3}$$ que tiene soluciones $$(u,v)=\frac{\left(-c(a,b)\pm(b,-a)\sqrt{a^2+b^2-c^2}\right)}{a^2+b^2}\tag{4}$$ Para cada una de las soluciones $(u,v)$ dado en $(4)$ obtenemos $x=at+u(R+ct)$ y $y=bt+v(R+ct)$ . Eliminación de $t$ , obtenemos la línea $$(b+vc)x-(a+uc)y=buR-avR\tag{5}$$ Así, la envolvente de la familia de círculos dada en $(1)$ es el par de líneas dadas en $(4)$ y $(5)$ .