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locus de círculos móviles con radio cambiante

Supongamos que una curva, γ(t)=(x(t),y(t),R(t)) que describe los centroides, (x(t),y(t)) y los radios, R(t) de un número infinito de círculos parametrizados por t(a,b) . Me gustaría encontrar una ecuación para la(s) curva(s) que delimita(n) el área barrida por los círculos, ¿alguna idea de cómo podría hacerlo?

Por ejemplo, si ambos (x(t),y(t)) y R(t) varían linealmente, la respuesta sería dos semicírculos (basados en el primer y el último círculo) con líneas rectas que los conecten (la pendiente de la línea depende de la tasa de cambio de γ(t) ).

Simple Example

Creo que puede ser necesario imponer una condición, algo así como ||˙R(t)||<||(˙x(t),˙y(t))|| para garantizar que cada círculo tenga al menos un punto en la curva límite

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Anthony Shaw Puntos 858

Esto se llama encontrar el sobre de una familia de curvas.

Supongamos que la familia de curvas, parametrizada por t se define por Ft(x,y)=0 Encontramos un punto en la envolvente resolviendo Ft(x,y)=0andFt(x,y)t=0 simultáneamente para un determinado t .


Por ejemplo, supongamos que la familia de curvas es (xat)2+(ybt)2(R+ct)2=0 Tomando el parcial con respecto a t produce 2a(xat)2b(ybt)2c(R+ct)=0 Para resolver (1) y (2) simultáneamente, que u=xatR+ct y v=ybtR+ct . Entonces sólo tenemos que resolver u2+v2=1andau+bv=c que tiene soluciones (u,v)=(c(a,b)±(b,a)a2+b2c2)a2+b2 Para cada una de las soluciones (u,v) dado en (4) obtenemos x=at+u(R+ct) y y=bt+v(R+ct) . Eliminación de t , obtenemos la línea (b+vc)x(a+uc)y=buRavR Así, la envolvente de la familia de círculos dada en (1) es el par de líneas dadas en (4) y (5) .

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