Buena cota superior para $(1-x)^r$

Question

La de Bernoulli de la desigualdad da un límite inferior en los números de la forma $(1-x)^r$:

$$(1-x)^r\geq 1-rx$$ for integer $r\geq 0$ and real number $0<x<1$.

Es allí que el correspondiente límite superior para $(1-x)^r$? En particular, cuando se $r$ se hace grande, $(1-x)^r$ se hace muy pequeño. Sospecho que debe haber una buena obligado por ella, pero no sé de ninguna.

Answer 1

deje $a:=\log\left(\frac{1}{1-x}\right)$. Entonces

$$(1-x)^r=\frac{1}{e^{ra}}=\frac{1}{1+ra+\frac{a^2r^2}{2!}+\frac{a^3r^3}{3!}+\ldots}$$

Ahora truncar la serie infinita en el denominador al contenido de su corazón. Por ejemplo

$$(1-x)^r\leq \frac{1}{1+ra}$$.