Múltiplos que son uno menos que de Plazas

Question

Me he inspirado para pedir este problema después de intentar encontrar todas las $(x,y,u,v)$ que $xy+1,xu+1,xv+1,yu+1,yv+1,uv+1$ son todos square.

Después de algunos cálculos básicos yo era fácilmente capaz de encontrar $x=n, y=n+2, u=4n+4$. Sin embargo, tuve un poco de dificultad para encontrar $v$.

Tomó algún tiempo, pero fui capaz de encontrar a $v=4(n+1)(2n+1)(2n+3)$.

¿Hay más formas más fáciles de encontrar $(x,y,u,v)$?

Y es la siguiente generlization posible: existe un número infinito de conjuntos de $X_{ n }=\{ x_{ i }|1\le i\le n \quad i\in \mathbb{N}\}$ ${ X }_{ n }\subset \mathbb{N}$ para cualquier natural finito número de $n$ que ${ x }_{ i }x_{ j }+1$ son todos los cuadrados perfectos?

Answer 1

Este problema es bien conocido en la literatura, donde tales conjuntos son llamados Diophantine $4$-tuplas. Dujella ha hecho un estudio exhaustivo de ellos: ver su página web en https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html para un montón de referencias.

En particular, Dujella demostrado que no hay Diophantine $6$-tuplas y que cualquier $5$-tuplas, si es que existen, que están delimitadas por una absoluta constante, por lo que hay en la mayoría de un número finito (no se ha encontrado nada). Así que la conjetura en su último párrafo es falsa para todos los $n \ge 6$.

Su pregunta acerca de la extensión de un triple de números enteros a un $4$-tupla también se ha considerado (ver https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/quint.html para la referencia). Siempre podemos tomar

$$v = x + y + z + 2xyz + 2\sqrt{(xy+1)(yz+1)(xz+1)}.$$

Se conjeturó que el anterior valor de $v$ es único (a la que de inmediato implica que $4$ es el mayor posible Diophantine tupla).

Answer 2

Pensé como esta tarea de generalizar y utilizar para cualquier número. Resultó que usted puede hacer sin necesidad de cálculos. Para el sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{aligned}&ab+T=x^2\\&ac+T=y^2\\&bc+T=z^2\end{aligned}\right.$$

Suficiente para el factor de número de teléfono siguiente:

$$bc=(y+c)^2-T$$

Con estos números se puede escribir la solución del sistema de ecuaciones.

$$a=b-c-2y$$

$$b=b$$

$$c=c$$

$$x=b-c-y$$

$$y=y$$

$$z=y+c$$

Answer 3

Es mejor utilizar un enfoque más General. Escribimos el sistema.

$$\left\{\begin{aligned}&xy+T=a^2\\&xz+T=b^2\\&xq+T=c^2\\&yz+T=d^2\\&yq+T=k^2\\&zq+T=n^2\end{aligned}\right.$$

Si el número de $T$, se situó en el multiplicadores. Encontramos entonces la configuración deseada.

$$T=3(p-t-s)(p+t-s)(p+s)^2$$

A continuación, la solución se puede escribir como.

$$x=t^2+2s^2+2ps-p^2$$

$$y=t^2-s^2+2ps+2p^2$$

$$z=4t^2-(p-s)^2$$

$$q=3(p+s)^2$$

$$a=p^2+ps+s^2-t^2$$

$$b=2t^2+s^2+ps-2p^2$$

$$c=3(p+s)s$$

$$d=2t^2-2s^2+ps+p^2$$

$$k=3(p+s)p$$

$$n=3(p+s)t$$