"La distribución del dominio" es una frase que yo no habría entendido si no se había proporcionado un poco de contexto. La distribución del apoyo es el conjunto de valores de la variable aleatoria puede tomar, o en el caso de distribuciones continuas, en el cierre de ese conjunto.[Editar más tarde: ver PS a continuación.] Para la distribución de Poisson cuya función de masa de probabilidad es
$$
k\mapsto\frac{x^k e^{-x}}{k!}
$$
el soporte está dado por
$$
k\in\{0,1,2,3,\ldots\},
$$
el conjunto de enteros no negativos.
El conjunto de posibles valores de$x$$[0,\infty)=\{x : x\ge 0\}$. Que es el espacio de parámetros, no de una distribución, pero para una familia de distribuciones.
Usted nos deja inferir, más que diciendo explícitamente, que $0.5$, $1.5$, $1.2$, y $7.9$ son los valores de $r$ más que de $x$.
El hecho de que
$$
\int_0^\infty \frac{x^r e^{-x}}{\Gamma(r + 1)} dx = 1
$$
a menudo se toma como la definición de la función Gamma, aunque la forma en la que es más a menudo se afirma es
$$
\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{m-1} e^{-x}\,dx,
$$
por lo que el $s$ aquí es $r+1$. Una distribución continua llamada a la distribución Gamma tiene función de densidad de probabilidad
$$
x\mapsto\frac{x^{m-1} e^{-x}}{\Gamma(s)} \text{ para }x>0,
$$
y si una escala de él, poniendo $x/\lambda$ en lugar de $x$, uno tiene la densidad
$$
x\mapsto\frac{(x/\lambda)^{m-1} e^{-x/\lambda}}{\Gamma(s)}\cdot\frac 1 \lambda \text{ para } x>0
$$
y que también es considerado como una "distribución Gamma". El extra $1/\lambda$ al final viene de la regla de la cadena. Me gusta escribir es
$$
\frac{(x/\lambda)^{m-1} e^{-x/\lambda}}{\Gamma(s)}\cdot\frac {dx} \lambda\text{ para }x>0.\etiqueta 1
$$
Una conexión entre la distribución Gamma y la distribución de Poisson es esto: supongamos que el número de "ocurrencias" durante un determinado intervalo de tiempo tiene una distribución de Poisson cuyo valor esperado es $\lambda$ veces la cantidad de tiempo, y que los números de "ocurrencias" en diferentes intervalos de tiempo son independientes si los intervalos de tiempo no se superponen. En ese caso, el tiempo de espera hasta la $s$th ocurrencia tiene la distribución Gamma $(1)$.
PS: yo no estaba muy precisos sobre lo de "soporte" significa". Para las distribuciones para que el conjunto de valores es topológicamente discreto, el apoyo es de hecho el conjunto de valores que puede ser alcanzado. Por tanto, para la distribución de Poisson es $\{0,1,2,3,\ldots\}$. Pero técnicamente es una "distribución discreta" es uno en el que todos los que la probabilidad es en punto de las masas, y que no tienen por que ser discretos en el sentido topológico: podría ser, por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales. Así que he aquí una definición: El soporte de una distribución es el menor conjunto cerrado cuyo complemento se ha probabilidad de $0$. Para la distribución de Poisson, el conjunto de valores posibles es $\{0,1,2,3,\ldots\}$, y eso es ya un conjunto cerrado, por lo que no necesita tomar su cierre y tenemos ningún tipo de complicaciones o sutilezas.
