Polinomios de matrices con entradas entero

Question

Estoy buscando referencias, si es que hay alguna, para este problema:

Caracterizar todos los elementos $a \in M_n(\mathbb{Z})$ para los que tenemos $\mathbb{Q}[a] \cap M_n(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[a].$

Aquí, por $C[a]$ me refiero a que el anillo de polinomios en $a$ con coeficientes en un anillo de $C.$

Gracias

Answer 1

Deje $n\times n$ entero matriz $a \notin \mathbb{Z}[I]$ tienen (monic) un mínimo de polinomio $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ grado $d$.

La construcción de un $d\times n^2$ matriz $P$ que contiene las entradas de $\{I,a,..,a^{d-1}\}$, expresado en filas consecutivas.

Reclamo: $\mathbb{Q}[a] \cap M_n(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[a]$ si y sólo si los divisores elementales de (la forma normal de Smith) $P$ son unidades.

Para motivar a esto veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1: Vamos a $a = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 4&3 \end{pmatrix}$, cuyo polinomio mínimo es $x^2 - 4x - 5$. Así que nos fijamos en la matriz cuyas filas representan los poderes de $a$ menos que el grado de este polinomio mínimo:

$$ \begin{pmatrix} 1&0&0&1 \\ 1&2&4&3 \end{pmatrix}$$

y reducirla a la forma normal de Smith:

$$ \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \end{pmatrix}$$

El hecho de que el último de primaria divisor es mayor que 1 corresponde a una combinación lineal de $I$ $a$ con coprime los coeficientes de decir:

$$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&2 \\ 4&3 \end{pmatrix}$$

que es el doble (y el menor múltiplo de) $\begin{pmatrix} 1&1 \\ 2&2 \end{pmatrix}$$\mathbb{Z}[a]$. Pero que se entero de la matriz ocurre en $\mathbb{Q}[a]$ y por lo tanto no contamos $\mathbb{Q}[a] \cap M_n(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[a]$.

Ejemplo 2: Considere el $a = \begin{pmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}$, cuyo polinomio mínimo es $x^2 - x - 2$. Así que nos fijamos en la forma normal de Smith:

$$ \begin{pmatrix} 1&0&0&0&1&0&0&0&1 \\ 0&1&1&1&0&1&1&1&0 \end{pmatrix} $$

que se reduce a:

$$\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0 \end{pmatrix} $$

El hecho de que todas las escuelas primarias divisores son 1 se corresponde con el hecho de que todos los distinto de cero combinaciones de $I$ $a$ podemos formar en $\mathbb{Z}[a]$ puede ser elegido para obtener las entradas con el máximo común divisor es 1, y por lo tanto no menor múltiples en $\mathbb{Q}[a]$ existe de lo que ya encontramos en $\mathbb{Z}[a]$.

Prueba de Reclamación:

Deje $\mathscr{M} = M_n(\mathbb{Z})$. Para la matriz de $a \in \mathscr{M}$ definir $\mathscr{N} = \mathbb{Z}[a]$. Claramente $\mathscr{M}$ es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$-módulo de rango $n^2$, y por lo tanto (desde $\mathbb{Z}$ es PID) submódulo $\mathscr{N}$ también es gratis. Por Cayley-Hamilton $a$ integral $\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}[I]$, y debido a $\mathbb{Z}$ es integralmente cerrado (en $\mathbb{Q}$), el (monic) polinomio mínimo de a $a$ tiene coeficientes enteros. Si $d$ es el grado del polinomio mínimo de a$a$, $\mathscr{N}$ base $\{1,a,\ldots,a^{d-1}\}$, por lo que tiene rango de $d$.

El $d \times n^2$ matriz $P$ descrito en la reclamación expresa la anterior base de $\mathscr{N}$ en términos de la norma base para $\mathscr{M}$. Por lo tanto la prueba de la pila de la Base de Thm. identifica a $P$'s de primaria divisores $q_1 \mid \ldots \mid q_d$, con un valor distinto de cero múltiplos enteros $q_i$ de la base de elementos tales que:

$$\text{(i) } \{\mu_1,\ldots,\mu_{n^2}\} \text{ is a basis for } \mathscr{M}$$ $$\text{(ii) } \{q_1 \mu_1,\ldots,q_d \mu_d\} \text{ is a basis for } \mathscr{N}$$

Deje $\overline{\mathscr{N}} = \mathbb{Q}[a] \cap \mathscr{M}$, por lo que nuestro reclamo es $\mathscr{N} = \overline{\mathscr{N}}$ si y sólo si la primaria divisores $q_i, 1 \leq i \leq d$ son todas las unidades.

Lema: Vamos A $b \in \mathscr{M}$. Entonces:

$$b \in \overline{\mathscr{N}} \iff \exists r \in \mathbb{Z}^+ \text{s.t. } rb \in \mathscr{N}.$$

Prueba: Por la eliminación de denominadores en base a los coeficientes, $b \in \mathbb{Q}[a] \iff \exists r \in \mathbb{Z}^+ \text{s.t. } rb \in \mathbb{Z}[a]$. A continuación, tomar las intersecciones con $\mathscr{M}$.

En consecuencia, el conjunto de $\{\mu_1,\ldots,\mu_d\} \subset \overline{\mathscr{N}}$. Este conjunto es también linealmente independiente por (i) anterior. A partir de esto podemos mostrar un lado de la demanda:

$$\mathscr{N} = \overline{\mathscr{N}} \implies q_i \text{ is a unit}, 1 \leq i \leq d $$

Es decir, si $\mathscr{N} = \overline{\mathscr{N}}$, luego, en particular,$\mu_d \in \mathscr{N}$, y tenemos el entero combinación:

$$\mu_d = \sum_{i=1}^d c_i q_i \mu_i$$

Por independencia lineal, $1 = c_d q_d$, e $q_d$ es una unidad. Por su divisibilidad de las relaciones, todas las $q_i$ son unidades, $1 \leq i \leq d$.

Para mostrar la otra dirección:

$$q_i \text{ is a unit}, 1 \leq i \leq d \implies \mathscr{N} = \overline{\mathscr{N}} $$

Sabemos $\mathscr{N} \subset \overline{\mathscr{N}}$, por lo que es suficiente para demostrar que la inversa de la inclusión. Dado cualquier $b \in \overline{\mathscr{N}}$, expresar $b$ en términos de la base para $\mathscr{M}$:

$$b = \sum_{i=1}^{n^2} c_i \mu_i$$

Por el Lema existe entero $r \gt 0$ s.t. $rb \in \mathscr{N}$:

$$rb = \sum_{i=1}^{n^2} r c_i \mu_i$$

Todos los $q_i$'s son unidades, por lo que (ii) anterior, dice $\{\mu_1,\ldots,\mu_d\}$ es una base para $\mathscr{N}$. Luego por la unicidad de los coeficientes, tenemos $r c_i = 0$ todos los $i \gt d$. Como r es distinto de cero, esto implica $c_i = 0$ todos los $i \gt d$. Por lo tanto,$b \in \mathscr{N}$, lo que demuestra el tratado de revertir la inclusión, $\overline{\mathscr{N}} \subset \mathscr{N}$.