Utilizando el Teorema de Plancherel para Demostrar que la Suma de Gauss

Question

Estoy interesado en probar la siguiente:

Donde $p$ es una extraña primer y $z$ es una primitiva $p$th raíz de la unidad, dejamos $Q(p)=\sum^{p−1}_{k=0}z^{k^2}$. Probar: $|Q(p)|=\sqrt{p}$.

Específicamente, quiero usar el Teorema de Plancherel para hacer esta prueba. Miré a un recurso relevante aquí, pero el autor era poco clara, por lo que no pudo completar la prueba.

¿Alguien puede mostrarme (en detalle) cómo probar la proposición utilizando el Teorema de Plancherel?

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo abelian. El doble de grupo $\widehat{G}$ es el conjunto de grupo homomorphisms $G\to\Bbb T$ equipada con pointwise la multiplicación como un grupo de operación. Aquí $\Bbb T$ es el círculo de grupo, el conjunto de los números complejos con el módulo de $1$, y estos homomorphisms $G\to\Bbb T$ son llamados caracteres. El doble de grupo es más general, se define localmente topológicos compactos grupos (y de los caracteres debe ser continua mapas en el sistema dual de grupo), en el marco de la dualidad de Pontryagin, pero que está muy lejos.

Deje $R$ ser un anillo, de preferencia en el campo. Un aditivo carácter es un carácter en el subyacente aditivo grupo de $R$. Uno puede asimismo definir un carácter multiplicativo $\chi$ como un personaje en $R^\times$, con la salvedad de que $\chi$ toma el valor de $0$ en nonunits. Por lo tanto, un aditivo personaje es uno que satisfaga $e(x+y)=e(x)e(y)$ todos los $x,y\in R$ y un multiplicativo uno satisface $\chi(xy)=\chi(x)\chi(y)$ para todas las unidades de $x,y$ $\chi(z)=0$ para nonunits.

Si $f:G\to\Bbb C$ es un complejo de valores de la función, su transformada de Fourier $\widehat{f}:\widehat{G}\to\Bbb C$ está dado por

$$\widehat{f}(\chi)=\int_G f(g)\overline{\chi(g)}dg,$$

donde hay alguna medida de Haar en $G$, lo que nos permite integrar las funciones. Para los grupos discretos, en particular de grupos finitos (que casi siempre por defecto son los que dada la topología discreta) la integral es simplemente una suma de los elementos de la $G$ adecuadamente normalizado.

Para nosotros, "debidamente normalizado" significa, de modo que $f\mapsto\widehat{f}$ es un operador unitario. Esto significa que el producto interior $\langle \varphi,\psi\rangle=\int_G\varphi(g)\overline{\psi(g)}dg$ se conserva como $\langle\varphi,\psi\rangle=\langle\widehat{\varphi},\widehat{\psi}\rangle$. En particular esto implica que la transformada de Fourier es una isometría con respecto a la $L^2$ norma (inducida por $\langle\cdot,\cdot\rangle$).

Para $\Bbb R$, de los caracteres $\Bbb R\to\Bbb T$ son todos de la forma $\chi_\omega:x\mapsto e^{2\pi i\omega x}$. Por lo tanto, los elementos de los dos grupos puede ser parametrizadas por $\Bbb R$ (a través de $\chi_\omega\leftrightarrow \omega$). De hecho, este es un grupo topológico isomorfismo, por lo que esto nos permite convenientemente notationally suprimir gran parte de lo que está pasando:

$$\widehat{f}(\chi_w)=\int_{\Bbb R} f(x)\overline{\chi_w(x)}dx\quad {\rm written~as}\quad \widehat{f}(\omega)=\int_{\Bbb R}f(x)e^{-2\pi i\omega x}dx.$$

Ya hemos identificado a $\widehat{\Bbb R}$$\Bbb R$, estamos interpretando $\widehat{f}$ como una función de tomar argumentos reales, en contraposición a una función cuyos argumentos son personajes en el grupo aditivo de reales.

Con $\Bbb F_p=\Bbb Z/p\Bbb Z$, el aditivo de caracteres $e_a(x)=e^{2\pi i a/p}$$a\in\Bbb F_p$. La transformada de Fourier de una función $f:\Bbb F_p\to\Bbb C$ está dado por $\widehat{f}(e_a)=|\Bbb F_p|^{-1/2}\sum_{x\in\Bbb F_p}f(x)\overline{e_a(x)}$, o simplemente

$$\widehat{f}(a)=\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{x\in\Bbb F_p}f(x)e^{-2\pi i ax/p}.$$

Dejo como un ejercicio rápido para comprobar que $p^{-1/2}$ es la correcta factor de escala para hacer la transformada de Fourier de un operador unitario en el complejo espacio vectorial de las funciones de $\Bbb F_p\to\Bbb C$.

Considerar el símbolo de Legendre $\chi_\ell(a)$ $1$ si $a\in\Bbb F_p^\times$ es un cuadrado perfecto y $-1$ otra (a excepción de $\chi_\ell(0)=0$). Este es un carácter multiplicativo, es el isomorfismo $\Bbb F_p^\times/(\Bbb F_p^\times)^2\to\{\pm1\}$, más o menos. Como $k=0,\cdots,p-1$, los valores de $k^2$ trazar todos los residuos cuadráticos dos veces, cero una vez, y nonresidues ningún momento. Esto implica

$$Q(p)=\sum_{k=0}^{p-1}e^{2\pi i k^2/p}=\sum_{x\in\Bbb F_p}(\chi_\ell(x)+1)e^{2\pi i x/p}=\sqrt{p}\,\widehat{\chi}_\ell(1).$$

Como resulta, se puede calcular el $|\widehat{\chi}(a)|$ para todos los multiplicativo de caracteres$\chi$$a\in\Bbb F_p$.

Primero considere el $a=0$ trivial. Tenemos

$$\widehat{\chi}(0)=\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{x\in\Bbb F_p}\chi(x)=\begin{cases} p^{1/2}-p^{-1/2} & \chi~{\rm trivial} \\ 0 & \rm otherwise \end{cases}$$

De lo contrario, supongamos $a\in\Bbb F_p^\times$ es una unidad. Desde $a^{p-1}=1$, sabemos $\chi(a)^{p-1}=1$, lo $\chi(a^{-1})=\overline{\chi(a)}$.

$$\widehat{\chi}(a)=\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{x\in\Bbb F_p}\chi(x)e^{-2\pi i ax/p}=\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{x\in \Bbb F_p}\chi(a^{-1}x)e^{-2\pi ix/p}=\overline{\chi(a)}\widehat{\chi}(1),$$

por lo que es suficiente para determinar $\widehat{\chi}(1)$. Si $\chi$ es trivial y, a continuación,$\widehat{\chi}(1)=-p^{-1/2}$. De lo contrario, necesitamos usar

El teorema de Plancherel: la transformada de Fourier es una isometría, es decir,$|f|_2=|\widehat{f}|_2$.

Recordar esto se deduce del ejercicio anterior (en relación con el factor de escala $p^{-1/2}$). Tenga en cuenta que el $L^2$ norma en este contexto está dado por $|f|_2=(\sum_{x\in\Bbb F_p}|f(x)|^2)^{1/2}$ y de manera similar para $|\widehat{f}|_2$.

Claramente $|\chi|_2^2=\sum |\chi(x)|^2=p-1$ (desde $|\chi(x)|=1$$x\ne0$$\chi(0)=0$) y

$$|\widehat{\chi}|_2^2=\sum_{x\in\Bbb F_p}|\widehat{\chi}(x)|^2=\sum_{x\in\Bbb F_p^\times} |\overline{\chi(x)}\widehat{\chi}(1)|=(p-1)|\widehat{\chi}(1)|.$$

La aplicación de Plancheral del teorema de con $f=\chi$, obtenemos $(p-1)=(p-1)|\widehat{\chi}(1)|$, por lo tanto $|\widehat{\chi}(1)|=1$ para cualquier no-trivial carácter multiplicativo $\chi$. En particular, para la de Legendre carácter, obtenemos

$$|Q(p)|=|\sqrt{p}\,\widehat{\chi_\ell}(1)|=\sqrt{p}|\chi_\ell(1)|=\sqrt{p}.$$

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Que la transformada de Fourier es unitaria es una elegante propiedad que es a veces inevitable en diferentes escalas de la transformación. Se puede ver en el código fuente vinculado que no es $p^{-1/2}$ factor de balance de todo lo que fuera, y como resultado Plancheral del teorema es "off-tilt" un factor adicional de $p$. Me hizo unitaria en mi discusión para una estética de la razón: se unifica el lenguaje del análisis armónico utilizado entre el$\Bbb R$$\Bbb F_p$.

En teoría de números, el contexto de campos finitos, estos "(aditivo) las transformadas de Fourier de multiplicativa personajes" sin los factores de escala se llama sumas de Gauss. Aquí es una buena encuesta de ellos. Se han ramificado en todos los diferentes tipos de sumas que pesan aditivo y multiplicativo de torsión factores, uno contra el otro, que todavía están bajo investigación en la actualidad.

No puedo dejar de mencionar Tate tesis, porque se trata también de la mezcla de aditivos y multiplicativos transforma y personajes con el fin de alcanzar el número de la teoría de extremos. En $\Bbb R$ el punto fijo de los aditivos de transformación es el "Gaussiano" $g(x)=e^{-\pi x^2}$. Su multiplicativo de transformación (es decir, su Mellin transformar) es $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$. En el campo de la $\Bbb Q_p$ $p$- ádico números (que es la culminación de $\Bbb Q$ con respecto al $p$-ádico métrica) si tomamos el multiplicativo de transformación del punto fijo de los aditivos de transformación, se obtiene el factor de Euler $(1-p^{-s})^{-1}$. Multiplicando todos estos factores juntos nos da el terminado zeta función de $\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$, que satisface Riemann histórico de la funcional de la ecuación de $\xi(s)=\xi(1-s)$. Uno puede unificar todo el proceso y hacerlo todo el adeles, en cuyo caso la ecuación funcional es sólo una aplicación particular de sumación de Poisson.