Operadores diferenciales están mal discontinua en general, y no se define para todas las funciones. Este fue reconocido como un problema temprano en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales clásicas de Matemáticas y Física. Sin embargo, se encontró que los problemas inversos escrito como ecuaciones integrales de Fredholm dio lugar a los operadores que son muy continuos, y, en términos modernos, a menudo compacto. Esto tiene que ver con la Arzela-Ascoli Teorema de equicontinuous de familias de funciones, que se remonta a alrededor del año 1880. Integral a los operadores, tales como la integral de Poisson, etc., y resolvents para $PDE's$, a menudo mapa delimitado secuencias de equicontinuous secuencias (que han convergente subsecuencias.)
Muchos de los resultados de tales análisis, incluyendo la existencia de soluciones, la alternativa de Fredholm, discreto, spectrum, etc., con éxito fueron resumidos en F. Riesz resumen de la configuración de los operadores compactos. El Riesz abstracción fue tan exitoso y tan limpia que el tema está siendo enseñado en virtual de la misma forma en que fue presentado originalmente en 1918.
Después de que el sujeto de las álgebras de operadores comenzaron a desarrollar, se dio cuenta de que el pacto por los operadores están a la izquierda y a la derecha ideal, y que los operadores de Fredholm podría ser visto como invertible modulo el ideal de operadores compactos. Así que las ideas salen de Fredholm de finales del siglo 19 el trabajo sobre ecuaciones integrales continuó fruto en el más moderno de la configuración. Atiyah-Singer índice de la teoría, entonces, conectado Fredholm índices topológicos. Dudo que este es el final de la historia conexión Compacto de los Operadores, la Física, la/diferencial de las ecuaciones integrales, Análisis Funcional, las Álgebras de operadores Pseudo-Diferenciales de operadores de Fredholm Índices, Índices Topológicos, y la Geometría.
