El orden de un grupo es la cardinalidad del conjunto subyacente, como Robinson estados. De hecho, el punto entero de la notación es que es universalmente comprensible. Por lo tanto, algo que es "correcto" si, cuando se escribe o dice, todo el mundo sabe lo que quieres decir. Por ejemplo, las siguientes instrucciones son claras.
- $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ son infinitos grupos.
- $\mathbb{Z}$ es una contables del grupo.
- $\mathbb{R}$ es un incontable grupo.
Deje $G\cong (\mathbb{Z}, +)$ y deje $H=(\mathbb{R}, +)$.
- $|G|<|H|$.
- $|G|=\aleph_0$.
La definición de "orden" como este significa que usted puede hablar acerca de los grupos de "contables" y "innumerables" de la orden. Hablando en general, "pedido" significa el "tamaño", por lo que es conveniente distinguir entre el "tamaño" de $\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$. Dicho esto, con infinidad de grupos que a menudo hablar de una contables de grupo en lugar de un grupo de contables de la orden, y el concepto de "orden" es menos importante en el infinito del grupo de teoría que en la teoría de grupos finitos.
De hecho, la "orden" de un grupo puede ser visto como una forma de poner un orden parcial en grupos, pero en infinidad de grupos de esta orden parcial no es muy útil. Steve Orgullo introdujo un lugar más significativo de pedidos en finitely generado grupos, llamados la "grandeza de pedido". Esto se basa en homomorphisms, que es cómo lo de los grupos de estudio de todos modos. Básicamente, $H\preceq_L G$ si $G$ tiene un índice finito subgrupo que se asigna a $H$. Este orden asegura que la libertad de los grupos se sientan en la parte superior, que es lo que quiere para un orden basado en homomórfica imágenes.
Para concluir, quiero mencionar los siguientes bastante interesante resultado en el orden de los infinitos grupos. Esperemos que convencer de por qué tiene sentido el orden de una infinita grupo corresponden a la cardinalidad del conjunto subyacente:
Deje $G$ una infinita grupo $G=\langle X\rangle$ y deje $X$ ser una infinita grupo electrógeno $G$. A continuación,$|X|=|G|$.
Para las pruebas, consulte aquí.
Una relacionada con el ejercicio es el siguiente:
Ejercicio: Probar que si $G=\langle X\rangle$ es generado por un conjunto finito, a continuación, $G$ es una contables de grupo (es decir, un grupo de cardinalidad no más de $|\aleph_0|$).
