¿Cuál es la derivada de la $|f(x)|^n$

Question

Bueno, es tiempo para una pregunta trivial, pero realmente necesito una aclaración acerca!

Digamos que tengo para evaluar

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\ |f(x)|^n$$

Tendré a la razón por el tratamiento de la función como

$$|f(x)|^n = \left(\sqrt{f(x)^2}\right)^n$$

y entonces sería muy fácil, o voy a tratar de aplicar, de alguna manera, la misma regla para la derivada de $|x|$?

$$D\ |f(x)|^n = n\ f(x)^{n-1}\frac{|f(x)|}{f(x)}f'(x) = n\ f(x)^{n-2}|f(x)|f'(x)$$

Gracias por la aclaración!

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\abs}{abs}$Si $n$ es un entero par, usted puede también escribir $$ |f(x)|^{n} = f(x)^{n} $$ y se diferencian mediante la regla de la cadena.

De lo contrario, si $x \neq 0$, la función de $\abs(x) = |x|$ es diferenciable en a $x$, y $$ \abs(x) = \frac{x}{|x|}. $$ Este (además de la regla de la cadena) garantiza que si $f$ es diferenciable en a$x$$f(x) \neq 0$, entonces la fórmula es correcta: $$ \frac{d}{dx} |f(x)|^{n} = n\, f(x)^{n-2} |f(x)|\, f'(x). $$ Si $f(x) = 0$ (o si $f$ no es diferenciable en a $x$), es necesario examinar la forma específica de la $f$ a determinar si es o no $\abs^{n}(f)(x) = |f(x)|^{n}$ es diferenciable en a $x$.

Answer 2

El mayor problema es que la función de $y \mapsto |y| = \sqrt{y^2}$ es, por supuesto, no diferenciable al $y = 0$. Dado esto, sólo podemos tomar la derivada de $|f(x)|^n$ en todos los puntos donde $f(x) \ne 0$.

Pero mientras estamos en $x$ donde $f(x) \ne 0$, en cualquiera de sus dos propuestas de métodos de trabajo. Tenemos por un lado \begin{align*} \frac{d}{dx} |f(x)|^n &= \frac{d}{dx} [f(x)^2]^{n/2} \\ &= \frac{n}{2} [f(x)^2]^{\left(\tfrac{n}{2} - 1\right)} \left[2f(x)f'(x)\right]. \\ &= n \cdot f(x) \cdot f'(x) \cdot |f(x)|^{n-2} \end{align*} y en el otro lado \begin{align*} \frac{d}{dx} |f(x)|^n &= n |f(x)|^{n-1} \left[\frac{d}{dx} |f(x)|\right] \\ &= n |f(x)|^{n-1} \frac{f(x)}{|f(x)|} f'(x) \\ &= n \cdot f(x) \cdot f'(x) \cdot |f(x)|^{n-2}. \end{align*} donde se utilizó $\frac{d}{dy} |y| = \frac{y}{|y|}$.

Ahora se puede ver que estas dos expresiones son iguales.

Nota 1: En los cálculos, vi un par de pequeños errores tipográficos o errores.

Nota 2: Debemos ser cuidadosos en el trato con la expresión $[f(x)^2]^{n/2}$. Nota: este es no es el mismo que $f(x)^n$. Para un potencial negativo $a$, no tenemos que $(a^b)^c = a^{bc}$.