Rango de la matriz jacobiana y dimensión de la imagen

Question

Tengo problemas con la siguiente pregunta:

¿Cuál es la relación entre el rango de la matriz jacobiana de $f$ (que es continuamente diferenciable) y la dimensión de la imagen de $f$ ?

¿Hay algún teorema al respecto?

Answer 1

Dejemos que $U\subset \mathbb R^n$ sea abierto y consideremos un mapa continuamente diferenciable $f:U\to \mathbb R^m$ . Ya que habla de el rango de $df$ Supongo que quiere decir que para todos $x\in U$ el rango de $d_x(f)$ es un número entero fijo $k$ (el mapa $f \;$ se llama entonces subinmersión : una generalización tanto de las inmersiones como de las submersiones).
El teorema del rango constante dice entonces que localmente cerca de cada $a\in U$ el morfismo $f \;$ tiene en coordenadas adecuadas la forma $$ (x_1,x_2,\ldots,x_n) \mapsto (x_1,x_2,\ldots,x_k,0,0,\ldots,0)$$ Así que en cierto modo la imagen tiene dimensión $k$ . Por ejemplo, si $k=m$ de la inmersión y la imagen de $f\; $ es un subconjunto abierto $f(U)\subset \mathbb R^m$ , que tiene por supuesto la dimensión $m$ .

¿Fin de la historia? No tan rápido. Como ya he dicho, el formulario mostrado para $f\;$ sólo es cierto a nivel local y, por desgracia, la imagen de $f \;$ no es un submanifold de $\mathbb R^m$ por lo que no es trivial precisar la idea de que la imagen es de dimensión $k$ . El ejemplo más sencillo de esta dificultad es la famosa inmersión inyectiva $\mathbb R \to \mathbb R^2$ cuya imagen es un ocho, que tiene un nodo y por tanto no es un submanifold de $\mathbb R^2$ aunque ciertamente tiene dimensión uno en cualquier interpretación concebible de la dimensión.

Answer 2

Busque el teorema del rango en el Cálculo sobre Múltiples de Spivak o en Funciones de Varias Variables de Flemings.