¿Por qué es $\int(1+x^2)^4\mathrm {d}x$ no es igual a $\frac{(1+x^2)^{5}}{5(2x)}+C$?

Question

Esta es una pregunta Retórica ya que yo ya sé que la respuesta es porque el interior función: $$(1+x^2)$$ no es lineal.

Pero lo que quiero saber es $why$ debe ser lineal. He recorrido el internet y las matemáticas libros rigurosamente en busca de una respuesta para esto, pero no hubo suerte. Así que si alguien podía amablemente me explique en inglés sencillo (si es posible) por lo que debe ser lineal y por qué $$\int(1+x^2)^4\mathrm dx$$ is not equal to $$\frac{(1+x^2)^{5}}{5(2x)}+C?$$

Cualquier respuesta se agradece,

Muchas Gracias.

saludos,

BLAZE.

Answer 1

¿Te acuerdas de la regla de la cadena: $$ (g \circ f)' = (g'\circ f)f'? $$ Esta es la razón. Si usted necesita para calcular $$ \int f'(x+q)\, dx, $$ la respuesta es $$ f(x+p)+C, $$ puesto que la derivada de $x+q$$1$. Por la misma razón, $$ \int f'(x^2)\, dx $$ no es $$f(x^2)+C,$$ because the derivative of $x^2$ is $2x$, and hence $$f(x^2)'=2x f'(x^2),$$ a rather different function than $f'(x^2)$.

En general, las transformaciones lineales de las $x$ variable son bastante inofensivos en la integración de la teoría, ya que siempre puede deshacerse de ellos por una simple sustitución: $$ \int f'(ax+b)\, dx = \frac{1}{a}f(ax+b)+C. $$

Answer 2

Si se diferencian de nuevo obtenemos $\frac{d}{dx}(\frac{(1+x^2)^5}{10x}+C)=\frac{10x(5(2x)(1+x^2)^4)-10(1+x^2)^5}{100x^2}\ne (1+x^2)^4$.

Estás tratando de aplicar la regla de $\frac{d}{dx}(f(x))^{n+1})=(n+1)f'(x)f(x)^n$, pero no se puede hacer lo siguiente:

$\int f(x)^ndx=\int \frac{1}{f'(x)}f'(x)f(x)^ndx=\frac{1}{f'(x)}\int f'(x)f(x)^ndx$.

La última igualdad es malo, no podemos traer "$f'(x)$" fuera de la integral, y esto es donde el error se produjo en.

Answer 3

puede utilizar la regla después de la expansión de

$\int (1+x^2)^4dx=\int (1+2x^2+x^4)^2=\int(1+4x^4+x^8+2x^4+4x^2+4x^6)dx\\=x+4x^5/5+x^9/9+2x^5/5+4x^3/3+4x^6/6+C$

Answer 4

Se están integrando con respecto a $x$, no $(1+x^2)$. Es por eso que no funciona de la manera que usted piensa. U-sustitución hace que esto sea posible. Así que en cierto modo es una especie de lo que esperaba. Sólo un pequeño cambio de variables.