probar que si $\gcd(a,b)=1$ $\gcd(a^2, b^2)=1$

Question

El uso de la identidad de Bezout me han demostrado

$$(a,b^2)=(b,a^2)=1$$

pero lo que debería ser el siguiente paso? Gracias.

Answer 1

Solo para seguir su idea con Bezout.

$$ap+bq=1$$

implica (el cuadrado y multiplicando por $ap$) $$a^2ap^3+2p^2qa^2b+b^2apq^2=ap$$

y (de manera similar)

$$a^2bp^2q+2pq^2ab^2+b^2bq^3=bq$$

La adición de ellos

$$1=a^2(bp^2q+ap^3+2p^2qb)+b^2(2pq^2a+bq^3+apq^2)$$

Answer 2

Para cualesquiera dos enteros $x,y$, $gcd(x,y)=1$ iff no existe $r,s\in \mathbb Z$ tal que $rx+sy=1$.

Así que ahora, supongamos $gcd(a,b)=1$ y escribir $ra+sb=1$. Cuadrado ambos lados y reorganizar los términos adecuadamente, y esto demuestra que $gcd(a^2,b)=1$, y también que $gcd(a,b^2)=1$. Esto es probablemente lo que usted ha hecho. Así que, para todos los $a,b\in \mathbb Z$, $gcd(a,b)=1$ implica $gcd(a^2,b)=gcd(a,b^2)=1$. Aplicar de nuevo y consigue $gcd(a^2,b^2)=1$.