Ideal generado por dos elementos que no es gratis

Question

Estoy teniendo problemas para entender un ejemplo construido por M. Ojanguren y R. Sridharan que muestra que más de la polinomio anillo en dos variables a lo largo de un anillo de división (que no es un campo), existe una forma estable un módulo que no es libre.

Deje $k$ ser un anillo de división que no es un campo y $R=k[x,y]$. Se puede demostrar fácilmente que existe una forma estable libre de $R$-módulo de $P$ que $P\oplus R\cong R^2$. Además se puede demostrar que no es un (a la derecha) ideal $J$ que es isomorfo a $P$ generado por la intersección de dos de las principales ideales de la $R$.

Mi pregunta es ¿por qué podemos concluir de lo anterior que $J$ debe ser generado por dos elementos y por qué esto significa que $J$, resp. $P$ no es libre.

¿Alguien puede ayudarme con esto?

Answer 1

Parece que usted está leyendo este artículo, o bien algo muy parecido a él: la Cancelación de Azumaya álgebras. No puede seguir la última parte donde se muestran no es gratis, pero creo que puede ser comprobado en la forma en que lo describen a continuación.

Hay que tener en cuenta que el $R$ es un Noetherian anillo. En particular, se tiene el IBN propiedad y $P$ es finitely generado.

Los autores parecen dar una explicación detallada de por qué la $P$ no es generado por un solo elemento, por lo que confío en que usted cree que es generado por más de un elemento.

Supongamos $P$ eran libres y por tanto isomorfo a $R^n$. Desde entonces $P\oplus R\cong R^{n+1}\cong R^2$, estamos obligados a concluir que $n=1$ desde $R$ tiene IBN propiedad. Pero, a continuación, $P$ es generado por un solo elemento, una contradicción. En consecuencia, $P$ no es gratis.

Por el camino, mientras que buscando esto, tuve la oportunidad de encontrar lo que parece ser un muy buen papel por J. T. Stafford: Estable libres, proyectivos derecho ideales (1985), en caso de que usted está interesado.