¿Puede explicar $(1 + iX/n)^{n}$ sin usar e, sin, o cos?

Question

En mi lucha continua para entender $e^{\pi i}$ He conseguido reducir mi dificultad conceptual. Tengo problemas intuitivos para entender por qué $(1 + iX/n)^{n}$ es conceptualmente lo mismo que una rotación en X radianes alrededor de un círculo unitario a medida que n se acerca al infinito.

La relación entre e, cos y sin es lo que me propuse entender en primer lugar, así que cualquier explicación que se base en el hecho de que $e^{xi} = cos(x) + i*sin(x)$ me deja justo donde empecé. Además, estoy buscando un explicación no una prueba. He visto la prueba de la serie de Taylor de la igualdad anterior, estoy buscando una explicación intuitiva de por qué $\lim_{n\to\infty}(1+iX/n)^{n}$ es lo mismo que una rotación de X radianes.

Answer 1

En primer lugar, $$\left( 1 + \left(\frac{iX}{n}\right)\right)^n \neq \lim_{n \to \infty}\left(1 + \left(\frac{iX}{n}\right)\right)^n$$

Es el lado derecho el que equivale a $e^{iX}$ . Es decir, $$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \left(\frac{iX}{n}\right)\right)^n = e^{iX},\qquad\qquad (1)$$ donde $X$ está en radianes. Esto se deduce de la definición del límite de $e^x$ :

Es que en nuestro caso $x = iX$ .

Obsérvese que en el caso especial en el que $x = 1$ podemos definir $e$ :

¿Se siente cómodo con su comprensión $e$ y $e^x$ en términos de los límites indicados anteriormente? Si es así, quizás ahora puedas establecer una conexión entre los lados derecho e izquierdo de la ecuación (1) anterior. Porque en este caso, el numerador de la fracción para la que estamos encontrando un límite es $iX$ . $iX$ es el exponente de $e$ en el límite resultante. El hecho de que $X$ se multiplica por $i$ en $e^{iX}$ puede entenderse como $\cos(X) - i\sin(X)$ Aunque supongo que no se siente cómodo con esa formulación de $e^{ix}$ , lo que sea $x$ puede ser. Creo que no entiendo muy bien dónde está tu confusión.

Un problema puede ser que $e^{iX}$ y el papel desempeñado por $X$ se entiende mejor en su relación con el plano complejo y el círculo unitario. La función exponencial $e^x$ quizá se caracterice mejor por su gráfico en el plano cartesiano. Dados los diferentes sistemas de coordenadas, no es de extrañar que establecer una conexión pueda resultar difícil.

Siempre es un buen ejercicio dedicar algún tiempo a explorar las gráficas de dichas funciones en diferentes sistemas de coordenadas y comparar cómo varía cada una en respuesta a una variación del valor del exponente. Cuanto mejor seas capaz de visualizar lo que ocurre, más sentido tendrá.

Por ejemplo, si sustituimos $\pi$ para $X$ en la ecuación (1) anterior, podemos utilizar la siguiente imagen para ver cómo la gráfica de $\displaystyle 1 + \left(\frac{i\pi}{n}\right)^n$ cambios como $n$ se hace cada vez más grande (acercándose al infinito):

Si hubiéramos seleccionado $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ habríamos terminado con una línea vertical que se acerca a un arco cuyo ángulo es $\pi/2$ etc. Cualquiera que sea el valor del ángulo $X$ que decidamos utilizar, terminaremos con una rotación de $X$ alrededor del círculo unitario en el plano complejo.

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Answer 2

No se trata de un argumento riguroso -discutir sobre que las cosas están "cerca" de la manera indicada, sin estimaciones reales de error, puede llevar fácilmente a errores-, sino de una demostración que puede ser útil.

Considere $(1+iX/n)$ , donde $n$ es lo suficientemente grande como para que $X/n$ es pequeño. En el plano complejo, corresponde al punto $(1, X/n)$ . El arco (rojo en la figura anterior) subtendido por este punto y la recta real tiene una longitud aproximada de $X/n$ unidades cuando $X/n$ es pequeño. Así que el ángulo en el origen, que en radianes es igual a la longitud del arco, es también aproximadamente $X/n$ . Además, el módulo/valor absoluto de $(1+iX/n)$ (su distancia al origen), es aproximadamente $1$ . Supongo que sabes que multiplicar por un número complejo que tiene módulo unitario y ángulo/argumento $\theta$ es la rotación por $\theta$ . Así que aquí, multiplicando por $(1+iX/n)$ es aproximadamente una rotación por $X/n$ . Multiplicando por $(1+iX/n)^n$ por lo tanto, gira aproximadamente por $X/n$ $n$ veces, es decir, la rotación por $X$ . Como $n \to \infty$ Esto se convierte en algo exacto.

Esta es una ilustración que muestra $(1+iX/n)^n$ (y también $(1+iX/n)^k$ para $k < n$ ) como $n$ aumenta. (Esta ilustración es para $X=1$ pero es similar para cualquier $X$ .) Puede ver que como $n$ se hace grande, $(1+iX/n)^n$ se acerca al punto que en el círculo que está en el ángulo $X$ es decir, el punto que corresponde a la rotación por $X$ . (Aunque no querías $e$ , $\sin$ o $\cos$ utilizado en la explicación, puede valer la pena mencionar para futuras referencias que este punto en el círculo es el mismo que $e^{iX}$ o $\cos X + i\sin X$ .)

Answer 3

Aquí hay una animación de Wikipedia que muestra la primera $n$ poderes de $1+\dfrac{i\pi}{n}$ para valores cada vez más grandes de $n$ :

La idea es que, si $\theta$ es un ángulo pequeño, entonces $1 + i\theta$ tiene un módulo de aproximadamente 1 y un argumento de aproximadamente $\theta$ . Esto se deduce de las aproximaciones lineales $$ \arctan\theta \approx \theta \qquad\text{and}\qquad \sqrt{1+\theta^2} \approx 1 $$ que son cada vez más precisos cuanto menor es el valor de $\theta$ . De ello se desprende que los poderes de $1 + i\theta$ todos ellos tienen un módulo aproximado de $1$ y tienen argumentos que son múltiplos de $\theta$ .

En particular, dado que $1+\dfrac{iX}{n}$ tiene un argumento de aproximadamente $X/n$ y un módulo de aproximadamente $1$ la cantidad $\left(1+\dfrac{iX}{n}\right)^n$ tiene un argumento de aproximadamente $X$ y un módulo de aproximadamente $1$ . Como se puede ver en la animación, esta aproximación se vuelve más y más precisa a medida que $n$ aumenta.

Editar: Sólo para aclarar el razonamiento preciso del módulo y el argumento. A partir de la trigonometría básica, podemos ver que $$ \arg \left(1+\frac{iX}{n}\right) \;=\; \arctan(X/n) \qquad\text{and}\qquad \left|1+\frac{iX}{n}\right| \;=\; \sqrt{1+(X/n)^2} $$ De ello se desprende que $$ \arg\left(1+\frac{iX}{n}\right)^n \;=\; n\arctan(X/n) \qquad\text{and}\qquad \left|\left(1+\frac{iX}{n}\right)^n\right| \;=\; \left(1+\frac{X^2}{n^2}\right)^{n/2}. $$ Así, la afirmación de que $e^{iX}$ tiene argumento $X$ y el módulo $1$ se deduce de las ecuaciones $$ \lim_{n\to\infty}\; n\arctan(X/n) \;=\; X \qquad\text{and}\qquad \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{X^2}{n^2}\right)^{n/2} =\; 1. $$ Ambos límites deberían ser intuitivos y pueden demostrarse rigurosamente mediante la regla de L'Hospital.

Answer 4

Tal vez no sea un resultado tan trivial de "explicar", pero podemos ver lo que podemos hacer.

La gran idea se basa en creer, en primer lugar, que un número complejo de módulo (valor absoluto) 1 se encuentra en el círculo unitario complejo. Me he dado cuenta en una de tus anteriores [preguntas] de que crees esto, así que lo dejaré pasar. Si multiplicamos dos números complejos de módulo 1, vemos claramente que el nuevo módulo sigue siendo uno. Pero si el número es diferente, entonces ha ocurrido una rotación (¿por qué? porque sigue estando en el círculo unitario complejo).

Supongamos que multiplicamos una unidad compleja, que denotaré por $z_0 = a + bi$ por una unidad compleja muy cercana a 1. Es decir, la giraremos multiplicándola por un número como $1 + xi$ donde x es muy muy muy pequeño. (Técnicamente, no es una unidad, pero está muy cerca de serlo). Entonces esto resultará en una rotación muy pequeña (ya que es casi 1, lo que no cambia un número, es decir, multiplicar un número por 1 no cambia el número). Puede que no sea obvio que sea pequeño, pero alguna noción de continuidad podría permitirnos imaginar que desviaciones realmente pequeñas de 1 resultarán en rotaciones realmente pequeñas.

Ahora damos con la idea clave: si queremos girar un ángulo mayor, digamos $\theta$ que $1+i \theta$ no es una unidad compleja. Pero $1+\frac{\theta }{n}$ para un n grande, es esencialmente una unidad compleja. Y siempre que creamos que multiplicar por la misma unidad compleja da como resultado la misma rotación (¡quizá no sea obvio sin la definición de la serie!), entonces podríamos simplemente hacer esto n veces para obtener la theta original.

Así que tenemos que $\lim (1 + \theta / n)^n$ actúa como una rotación. Pero tal vez sea ahora cuando demos con el quid de la cuestión: ¿cómo sabemos que la rotación es realmente $\theta$ ¿radianes? Para ser honesto, eso no es obvio. Aquí, tengo que dar un paso atrás y justificar esta afirmación.

Veamos nuestra unidad compleja $z = a + bi$ . Es una unidad, así que $a^2 + b^2 = 1$ (para aclarar, por si no estaba ya claro). Lo que esto significa es que el punto $(a,b)$ está en el círculo unitario en el plano. Deberíamos preguntarnos, ¿cuál es el ángulo con el eje x positivo? Pues bien, imaginemos el triángulo con la anchura x a y la altura y b. Entonces el ángulo viene dado por $\arctan{ \frac{b}{a}}$ . (Dibuja el triángulo si es difícil de ver, creo que se verá fácilmente).

Ahora veamos nuestra "casi-unidad $1 + \theta / n$ . Entonces el ángulo de rotación vendrá dado por $\arctan { \frac{\theta}{1 * n} } $ . Pero si observamos un gráfico de arctan, como el que se muestra a continuación: Podemos ver que para valores realmente pequeños de x, $\arctan(x)$ es alrededor de x. Así que $\arctan {\frac{\theta}{n}} $ se trata de $\theta / n$ . Esto es más preciso a medida que n se hace más grande.

Espero que este breve interludio matemático no sea demasiado malo, pero en última instancia creo que ahora podemos ver que multiplicar por $1+i \theta / n$ corresponde a una rotación por $\theta / n$ radianes, por lo que al hacerlo n veces se obtiene una rotación de $\theta$ . Tomando el límite a medida que n llega al infinito se obtiene el resultado.

¿Está claro?

Answer 5

Una forma es escribir $1+iX/n = r_n (\cos \theta_n + i \sin \theta_n)$ . Entonces se consigue que $r_n = \sqrt{1+\frac{X^2}{n^2}}$ y $\theta_n = \arctan(X/n)$ . Podemos ver que $r_n^n = (1+\frac{X^2}{n^2})^{n/2}$ se acerca a 1 (ya que $r_n^{2n^2}$ se acerca a $e^{X^2}$ .)

Así que quieres saber que $n\theta_n=n\arctan(X/n)$ se acerca a $X$ como $n\rightarrow \infty$ . Se puede escribir esto como $\frac{\arctan(hX)}h$ donde $h=\frac{1}{n}$ y esto es obviamente la derivada de $\arctan{Xz}$ en $z=0$ que es igual a X.