¿Es la matriz inversa convexa?

Question

Me pregunto una generalización de la desigualdad de Jensen: dejar$\mathbf{X,Y}$ ser dos matrices definidas positivas, podemos obtener el siguiente Jensen como desigualdad$$(1-\lambda)\mathbf{X}^{-1}+\lambda\mathbf{Y}^{-1} \succeq((1-\lambda)\mathbf{X}+\lambda\mathbf{Y})^{-1}$ $ para cualquier$\lambda \in (0,1)$, donde la notación$\mathbf{A}\succeq \mathbf{B}$ representa la matriz$(\mathbf{A-B})$ positiva semi-definida.

Answer 1

Suponga $X, Y$ es positiva definida y $\lambda \in [0,1]$. Sabemos $Z(\lambda) = (1-\lambda) X + \lambda Y$ es positiva definida y lo hace $Z^{-1}(\lambda)$. Utilicemos $(\ldots)'$ que representan derivadas con respecto a $\lambda$, tenemos:

$$ Z Z^{-1} = I_n \implica Z Z^{-1} + Z ( Z^{-1} )' = 0_n \implica (Z^{-1})' = - Z^{-1} Z' Z^{-1} $$ Diferenciar una vez más y observe $Z'' = 0_n$, obtenemos: $$(Z^{-1})'' = - (Z^{-1})' Z' Z^{-1} - Z^{-1}Z' (Z^{-1})' = 2 Z^{-1}Z' Z^{-1} Z' Z^{-1}\tag{*1}$$

Elija cualquiera de azar no-vector cero $u$ y considerar el siguiente par de vector/matriz de funciones con valores de:

$$v(\lambda) = Z'(\lambda) Z^{-1}(\lambda) u\quad\quad\text{ y }\quad\quad \varphi(\lambda) = u^T Z^{-1}(\lambda) u$$

$(*1)$ nos dicen

$$\varphi''(\lambda) = u^T (Z^{-1})''(\lambda) u = 2 v^T(\lambda) Z^{-1}(\lambda) v(\lambda) \ge 0\tag{*2}$$

debido a $Z^{-1}(\lambda)$ es positiva definida. De esto podemos concluir $\varphi(\lambda)$ es una función convexa de $\lambda$$[0,1]$. Como resultado, para cualquier $\lambda \in (0,1)$, tenemos:

$$\begin{align}&(1-\lambda)\varphi(0) + \lambda\varphi(1) - \varphi(\lambda) \ge 0\\ \iff& u^T \left[ (1-\lambda) X^{-1} + \lambda Y^{-1} - ((1-\lambda) X + \lambda Y)^{-1}\right] u \ge 0\tag{*3} \end{align}$$ Desde $u$ es arbitrario, esto implica la matriz dentro de los corchetes en $(*3)$ es positivo semi-definida y, por lo tanto:

$$(1-\lambda) X^{-1} + \lambda Y^{-1} \succeq ((1-\lambda) X + \lambda Y)^{-1}$$

Por favor, tenga en cuenta que cuando se $Z' = Y - X$ es invertible, $v(\lambda)$ es distinto de cero para que no sea cero $u$. Las desigualdades en $(*2)$ $(*3)$ ser estricta y la matriz dentro de el corchete en $(*3)$ es positiva definida, en lugar de positiva semi-definida.

Answer 2

Dejar $\mathbf{P}=\mathbf{X}^{-1/2}\mathbf{Y}\mathbf{X}^{-1/2}$. Por izquierda y derecha, multiplicando ambos lados de la ecuación por$\mathbf{X}^{1/2}$, la desigualdad es equivalente a$(1-\lambda)I+\lambda\mathbf{P}^{-1} \succeq((1-\lambda)I+\lambda\mathbf{P})^{-1}$. Como$\mathbf P$ es positivo definido, se puede diagonalizar unitariamente y, por lo tanto, podemos suponer que se trata de una matriz diagonal. Entonces, la desigualdad se reduce hasta el caso escalar$(1-\lambda)+\lambda p_{ii}^{-1} \ge ((1-\lambda)+\lambda p_{ii})^{-1}$, que es verdadero porque la función$f(t)=\frac1t$ es convexa para$t>0$.

Answer 3

Edit: La prueba está mal como se ha señalado por @mewmew. Estoy tratando de solucionarlo.

Deje $\lambda\in [0,1]$. Vamos, $$A=(1-\lambda){X}^{-1}+\lambda {Y}^{-1}\\ B=\left((1-\lambda){X}+\lambda Y\right)$$

Luego, se nota que $A$ $B$ es positiva definida desde $X,\ Y$ es positiva definida. Por lo tanto $X,Y,A,B$ es invertible.

A continuación,\begin{align} AB-I=&\left((1-\lambda){X}^{-1}+\lambda {Y}^{-1}\right)\left((1-\lambda){X}+\lambda Y\right)-I\\ \ =& \left(1-\lambda\right)^2I+\lambda(1-\lambda)\left(X^{-1}Y+Y^{-1}X\right)+\lambda^2I-I\\ \ =& 2\lambda(\lambda-1)I+\lambda(1-\lambda)\left(X^{-1}Y+Y^{-1}X\right)\\ \ =& \lambda(1-\lambda)\left(-X^{-1}X-Y^{-1}Y+X^{-1}Y+Y^{-1}X\right)\\ \ =& \lambda(1-\lambda)(Y^{-1}-X^{-1})(X-Y)\quad \\ \end {align} Así que, para cualquier vector $u\ne 0$ \begin{align} u^T(B^TAB-B^T)u=& u^TB^T(AB-I)u=\lambda(1-\lambda)u^TB^T(Y^{-1}-X^{-1})(X-Y)u\\ \ =&\lambda(1-\lambda)u^T((1-\lambda)X^T+\lambda Y^T)(Y^{-1}-X^{-1})(X-Y)u \end{align} Ahora, para cualquier vector $v\ne 0\ \exists$ un vector $u\ne 0$ tal que $$Bu=v$$. Por lo tanto, para cualquier vector $v\ne 0$\begin{align} v^T(A-B^{-1})v=& (Bu)^T(A-B^{-1})Bu\\ \ =& u^T(B^TAB-B^T)u\ge 0 \end{align}

Por lo tanto $$A\ge B^{-1}\\ \Rightarrow (1-\lambda)X^{-1}+\lambda Y^{-1}\ge \left((1-\lambda){X}+\lambda Y\right)^{-1}\quad \forall \lambda\in [0,1]\hspace{0.6cm}\Box$$