¿La equivalencia S implica una relación de deformación?

Question

Deje $V$ $V'$ dos semi-estable vector de paquetes, en algunos curva algebraica, que son S-equivalente. Mi pregunta es si se sigue que $V$ $V'$ están relacionados por una deformación, es decir, si se sientan en un solo grupo de extensión (esperemos que esta es la manera correcta de esta frase).

En particular, estoy interesado en el caso de que $V$ $V'$ vector de paquetes en una curva elíptica $E$.

Sospecho que esto es cierto porque, en $E$, la suma directa de $\mathcal{O}_E\oplus\mathcal{O}_E$ S " -equivalente a la única no-trivial de extensión de $\mathcal{O}_E$ por sí mismo, y yo creo que esto está destinado a ser un caso representativo. Sin embargo no tengo una intuición para el caso general, y no estoy seguro de cómo ir sobre una prueba.

Answer 1

Espero que la respuesta a su pregunta en una curva elíptica a ser que sí. Consideremos el caso de los paquetes de rango dos y el grado cero. Una suma directa de dos paquetes de $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ será semistable si ambos tienen un grado $0$. Para uno de esos suma a $S$-equivalente a otro, la línea de paquetes debe ser el mismo, sea posible con el fin de intercambiar. Así que en este caso no hay nada que demostrar. Ahora supongamos que $V$ es un nonsplit extensión de $\mathscr{L}$$\mathscr{M}$. Para que esto suceda, el $\text{Ext}$ $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ debe ser distinto de cero, y esto sólo puede suceder cuando $\mathscr{L}$ es isomorfo a $\mathscr{M}$. (Creo que de $H^1(\mathscr{L} \otimes \mathscr{M}^*)$.)

Por cierto se me olvidó decir en el principio, si usted no ha recientemente, a continuación, asegúrese de volver a leer Atiyah maravilloso artículo sobre el vector de paquetes en una curva elíptica aquí.

Atiyah, M. F. Vector de paquetes a través de una curva elíptica. Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 7 de 1957 414-452.

Contará con toda la técnica que usted necesita.

Así que ahora, la familia de extensiones de $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ contendrá $V$ y en el límite de la suma directa. Esto contesta a tu pregunta en el caso de rango dos, el grado cero. Creo que debe ser capaz de generalizar este argumento para demostrar que su pregunta es afirmativa para todos los rangos y grados, al menos en el sentido de la vinculación de los dos paquetes por una secuencia de extensiones. Si $V_1$ $V_2$ son semistable, la primera es una suma directa de dos indecomposable paquetes de rango $3$, y el segundo una suma de indecomposable paquetes de filas $2$$4$, no sé si usted puede conseguir a los dos en una sola extensión de la familia. Tal vez usted puede averiguar esto.