Demostrar que, para $n≥2$ $ \frac {n^4 - 3 n^2 + 1}{n^4 - n^2 - 2 n - 1}$ es una Fracción Propia.

Question

Demostrar que, para $n≥2$

$$ \frac {n^4 - 3 n^2 + 1}{n^4 - n^2 - 2 n - 1}$$ es una Fracción Propia.

He intentado $(n^4 - 3 n^2 + 1)-(n^4 - n^2 - 2 n - 1)<0$ .

¿Es la forma correcta?

Answer 1

Método 1.

Si $\frac AB <1$ y $A>0,B>0$ debe ser $A<B$ .

para $n≥2$

Tenemos $n^4 - 3 n^2 + 1≥5>0$

para $n≥2$

Tenemos $n^4 - n^2 - 2 n - 1≥7>0$ .

Porque sí,

$n^2(n^2-1)-2(n-1)-3>0 \Rightarrow (n-1)(n^3+n^2-2)-3>0\Rightarrow (n-1)(n^3+n^2-2)-3≥7>0$

Finalmente

para $n≥2$ , $(n^4 - 3 n^2 + 1)-(n^4 - n^2 - 2 n - 1)<0$

Porque sí, $n^2 - n - 1>0 \Rightarrow n> \frac {1+\sqrt{5}}{2}$

Método 2.

$$\frac {(n^4 - 3 n^2 + 1)}{(n^4 - n^2 - 2 n - 1)}=\frac {(n^2+n-1)(n^2-n+1)}{(n^2+n+1)(n^2-n+1)}=\frac {n^2+n-1}{n^2+n+1}$$ , $n≠\frac {1+\sqrt{5}}{2}$ . Y es obvio $n^2+n-1<n^2+n+1$ .

Espero que haya ayudado.

Answer 2

Sí, pero además debe mostrar $$n^4-3n^2+1>0$$ Entonces, tenemos un numerador y un denominador positivos y el numerador es menor que el denominador, por lo que tenemos una fracción propia.

Answer 3

La forma en que lo estás intentando es una posible manera de hacerlo. Tal vez lo intentes tú mismo y luego veas mi respuesta. (después de multiplicar el signo negativo):

$$n^4 - 3n^2 + 1 - n^4 + n^2 + 2n + 1 < 0 $$

$-2n^2 + 2n + 2 < 0$ que es cierto para todo n mayor que 2, ya que para 2, la cuadrática se evalúa a -2, y para todo n mayor, la respuesta es aún menor (siempre menos que 0). Espero que te haya servido de ayuda.