La desigualdad de Poincaré para los campos vectoriales en una superficie

Question

$ \newcommand { \Ric }{ \text {Ric}}$ Deje que $M$ ser un suave y cerrado orientado a Riemann superficie .

Estoy buscando una referencia (o un esbozo de prueba) para la siguiente desigualdad:

$$ \int_M | \nabla V|^2 \ge \int_ {M} \Ric (V,V)= \int_ {M} K|V|^2, \tag {1}$$

para cada campo vectorial $V \in \Gamma (TM)$ donde $ \nabla $ es la conexión Levi-Civita, y la integración está en contra de la forma de volumen de Riemann. ( $K$ es la curvatura de Gauss).

Supongo que se necesita algún tipo de identidad de Bochner. También estoy interesado en saber si esta desigualdad es válida para los múltiples de dimensiones superiores.

BTW, especializado para el caso de la ronda $2$ -esfera, tenemos

$$ \int_ { \mathbb {S}^2} | \nabla V|^2 \ge \int_ { \mathbb {S}^2} |V|^2. \tag {2}$$

Se puede encontrar una prueba de este caso específico aquí .

Answer 1

Probablemente ya lo has descubierto, pero como es una desigualdad tan bonita, sólo señalaré que se desprende de la identidad en la otra pregunta de OP:

Cómo probar $ \int_M - \text {Ric}(V,V)+ | \nabla V|^2 = \int_M \frac {1}{2}|L_Vg|^2- \big ( \text {div}V \big )^2$ ?

Desde $( \mathcal {L}_Vg)_{ij} = \nabla_iV_j + \nabla_jV_i $ en un múltiplo de dimensiones $n$ encontramos $$ \frac12 | \mathcal {L}_Vg|^2 \geq \frac {1}{2n}| \text {trace}( \mathcal {L}_Vg)|^2 = \frac {2}{n}( \text {div}V)^2.$$ Por lo tanto, el RHS de esa identidad está delimitado abajo por $( \frac {2}{n} - 1)( \text {div}V)^2$ que no es negativo cuando $n \leq 2$ .