probar que$(xy-2,x^2-2)$ es un ideal máximo de$\mathbb Q[x,y]$

Question

Quiero demostrar que$(xy-2,x^2-2)$ es un ideal máximo de$\mathbb Q[x,y]$.

Para empezar, construí un mapa$\phi:\mathbb Q[x,y] \to \mathbb Q[\sqrt 2]$ por$f\mapsto f(\sqrt 2, \sqrt 2)$, esperando mostrar que su kernel es$(xy-2,x^2-2)$.

Claramente,$\phi$ mata$(xy-2,x^2-2)$. Para mostrar la otra contención. Tomamos$f$ desapareciendo en$(\sqrt 2, \sqrt 2)$. Aquí es donde me quedo atascado. Cómo expresar$f$ como$f=u(xy-2)+v(x^2-2)$, donde$u,v\in \mathbb Q[x,y]$?

Cualquier otro método será apreciado si este no funciona. Sería genial si hay un método general para tratar con muchos otros problemas similares.

Answer 1

El ideal$I$ contiene$xy-2-(x^2-2)=x(y-x)$ y también$x^2(y-x)$. Luego también contiene$x^2(y-x)-(x^2-2)(y-x)=2(y-x)$, y así$y-x$ también.

Por lo tanto,$f(x,y)\equiv f(x,x)\pmod{I}$ para cualquier polinomio$f$ sobre$\Bbb Q$. Si$f(\sqrt2,\sqrt2)=0$ entonces$g(x)=f(x,x)$ es divisible por$x^2-2$ así$g(x)\in I$. Como$f(x,y)\equiv g(x)\pmod I$ luego$f(x,y)\in I$ también.

Answer 2

Podemos encontrar que$\{ x-y,x^2-2 \}$ es una base mínima de Grobner para$I=(xy-2,x^2-2)$, entonces$$ I=(x-y,x^2-2) $ $

entonces $ \mathbb Q[x,y]/(x-y,x^2-2) \cong \mathbb Q[x]/(x^2-2) \cong \mathbb Q(\sqrt2) $

Answer 3

Lord Shark el Desconocido la respuesta es muy hermosa, pero también me parece muy inteligente. Pensé que podría publicar una respuesta que es mucho menos inteligente, sino que utiliza muy ampliamente aplicable ideas.

En primer lugar, tenga en cuenta que por el tercer teorema de isomorfismo de anillos, tenemos $\mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY-2, X^{2}-2 \rangle \cong (\mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY-2)/\langle \overline{X^{2}-2} \rangle$ donde $\overline{X^{2}-2}$ denota la imagen de $X^{2}-2$$\mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY-2\rangle$. Yo reclamo que $\mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY-2\rangle \cong \mathbb{Q}[Z, Z^{-1}] \cong S^{-1}\mathbb{Q}[Z]$ donde $S = \{Z^{n} \mid n \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{Q}[Z]$.

De hecho, considerar los morfismos de $\mathbb{Q}$-álgebras $\varphi \colon \mathbb{Q}[X, Y] \to \mathbb{Q}[Z, Z^{-1}]$, el cual es definido en los generadores por $X \mapsto Z, Y \mapsto 2Z^{-1}$. A continuación,$XY-2 \in \ker(\varphi)$, de modo que por la característica universal del cociente, $\varphi$ desciende a una bien definida de morfismos de $\mathbb{Q}$-álgebras $\tilde{\varphi} \colon \mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY - 2 \rangle \to \mathbb{Q}[Z, Z^{-1}]$ envío de $\overline{X}$$Z$$\overline{Y}$%#%.

Por otro lado, podemos definir un morfismos de $2Z^{-1}$-álgebras $\mathbb{Q}$$\rho \colon \mathbb{Q}[Z] \to \mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY - 2 \rangle$. Desde $Z \mapsto \overline{X}$, $\overline{X} \cdot \overline{\frac{1}{2}Y} = \overline{1}$. En particular, por la característica universal de la localización, $\overline{X} \in (\mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY - 2 \rangle)^{\times}$ se extiende a un morfismos $\rho$ que envía a $\tilde{\rho} \colon \mathbb{Q}[Z, Z^{-1}] \to \mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY - 2 \rangle$$Z$$\overline{X}$%#%. Es sencillo comprobar que $Z^{-1}$ $\overline{\frac{1}{2}Y}$ son las identidades en sus respectivos dominios, es suficiente para comprobar esto en los generadores, por ejemplo, que el $\tilde{\rho} \circ \tilde{\varphi}$. Así, a través de la isomorfismo $\tilde{\varphi} \circ \tilde{\rho}$, tenemos

$(\tilde{\rho} \circ \tilde{\varphi})(\overline{X}) = \overline{X}$$

Queda por demostrar que $\tilde{\varphi}$. Hay muchas maneras de hacer esto, pero uno es el siguiente: desde la toma de cocientes de "viajes" con la localización, tenemos $$\mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY-2, X^{2}-2 \rangle \cong (\mathbb{Q}[X, Y]/\langle XY-2)/\langle \overline{X^{2}-2} \rangle \cong \mathbb{Q}[Z, Z^{-1}]/\langle Z^{2}-2\rangle$, donde el último isomorfismo sigue desde $\mathbb{Q}[Z, Z^{-1}]/\langle Z^{2}-2\rangle \cong \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.