La suma de 3 variables aleatorias uniformes es una constante

Question

Dar una construcción de tres variables aleatorias $X,Y,Z$ que son cada uno uniforme en $(0,1)$ pero $X+Y+Z$ es una constante.

¿Es correcto el siguiente argumento? Primero consideramos cada número en $(0,1)$ en ternario y para el $n$ -décima cifra, asignada aleatoriamente $0,1,2$ a $X, Y, Z$ , de tal manera que todos los $n$ -dígitos son diferentes. Esto significa que cada variable aleatoria está uniformemente distribuida ya que cada uno de sus dígitos tiene una probabilidad de 1/3 para cada $ \{0,1,2 \}$ Para ser rigurosos, se puede demostrar que $P(X\leq a) = a$ donde $a = k/3^n$ y $n,k$ son enteros positivos.

Así que esto se extiende a $P(X\leq r) = r, r\in \mathbb{Q}\cap (0,1)$ porque podemos encontrar una secuencia decreciente $a_j = \frac{k_j}{3^{n_j}}$ s.t $a_j\downarrow r$ . ¿Es necesario justificar más este paso? Y a partir de aquí lo extendemos a los reales de la misma manera. Usamos secuencias decrecientes porque la FCD es continua derecha. Esto demuestra que $X$ es uniforme y de forma similar $Y$ y $Z$ son uniformes en $(0,1)$ Se suman a una constante ya que la suma de dígitos es sólo $0+1+2$ para cada lugar.

Answer 1

Creo que esta construcción es un poco más fácil: Dejemos que $X$ sea uniforme en (0,1) y defina

$$ Y = \begin{cases}X+\frac 12, \quad X<\frac 12, \\ X- \frac 12, \quad X \geq \frac 12, \end{cases} $$ y

$$ Z = \frac 32 - (X+Y). $$ Entonces, claramente, $X+Y+Z = \frac 32$ y queda por demostrar que $Y$ y $Z$ son uniformes en $(0,1)$ .

Un simple cálculo muestra que para $y \in [0, \frac 12)$ $$ \Bbb{P}(Y \leq y) = \Bbb{P}\biggl(X \in \Big[\frac 12, \ y+ \frac 12\Bigr]\biggr) =y, $$ y de forma similar para $y \in [\frac 12 , 1]$ $$ \Bbb{P}(Y \leq y) = \Bbb{P}\Bigl(X \geq \frac 12\Bigr) +\Bbb{P}\Bigl(X \leq y - \frac 12 \Bigr) =y, $$ así que $Y$ también es uniforme en $[0,1]$ .

Por último, cabe destacar que

$$ Z = \frac 32 - (X+Y) = \begin{cases}-2X+ 1, \quad X<\frac 12, \\ -2X + 2, \quad X \geq \frac 12, \end{cases} $$ y de forma similar se puede demostrar que $Z$ tiene una distribución uniforme en $(0, 1)$ .