Clasifique todos los anillos finitos de modo que cada unidad tenga orden 24

Question

Problema: Supongamos $R$ es un número finito (asociativa) anillo con 1 tal que cada unidad de $R$ tiene el fin de dividir 24. Clasificar todos esos $R$.

Mi intento: tuve que cociente de la jacobson radical $J(R)$, de modo que desde $R$ es finito y por lo tanto artinian, $R/J(R)$ es semisimple. Por lo tanto, $R/J(R)$ es un producto de la matriz de los anillos, y mediante el análisis de sus lineal general de los grupos (y usando el hecho de que todas las unidades tienen el fin de dividir 24) soy capaz de clasificar todos esos $R/J(R)$.

Pero ahora estoy atascado. No tengo ni idea de cómo ir de $R/J(R)$$R$. No tengo ninguna información acerca de la $J(R)$. Mi lluvia de ideas tiene que decir esto: Desde $R$ es artinian, $J(R)$ es la doble cara ideal de todos los nilpotent elementos. También, $\forall x \in J(R)$, $1+x$ es una unidad. Esto define un inyectiva mapa de $J(R)$ para el conjunto de unidades en $R$. Pero este no es un grupo de homomorphism, así que no puedo aprovechar el hecho de que las unidades tienen el fin de dividir a $24$.

Answer 1

Por cierto, si yo tuviera que asumir semisimplicity para $R$ (que es lo $R/J(R)$ es en la pregunta original), a continuación es mi solución:

Desde $R$ es finito y por lo tanto artinian, Artin-Wedderburn implica que $R \cong M_{n_1}(D_1) \times \cdots \times M_{n_t}(D_t)$ donde $n_i$ son enteros positivos y $D_i$ son de la división de los anillos. Por tanto, el grupo de unidades de $R$ es isomorfo a $GL_{n_1}(D_1) \oplus \cdots \oplus GL_{n_t}(D_t)$. Desde $R$ es finito, por lo que es cada una de las $D_i$, por lo que por Wedderburn poco teorema, cada una de las $D_i$ es de hecho un campo finito. Cada unidad de $R$ ha multiplicativo fin de dividir 24, y desde $\forall \alpha \in D_i$, $\alpha I_{n_i} \in GL_{n_i}(D_i)$, tenemos que cada elemento distinto de cero de a $D_i$ tiene el fin de dividir 24. Desde $D_i$ es un campo finito, el grupo multiplicativo de las unidades de $D_i$ debe ser cíclica. Por lo tanto, el orden del grupo debe dividir 24. Por lo tanto, $|D_i|$ es de la forma $k+1$ donde $k|24$. Desde $D_i$ es un campo finito, esto $k+1$ es necesariamente una fuente primaria de energía. A continuación, compruebe todos los divisores de 24, y resulta que para cada $k|24$, $k$ es una fuente primaria de energía, y tenemos que $D_i$ puede ser un campo finito de orden 2,3,4,5,7,9,13, o 25. Dejando $q_i = |D_i|$, entonces tenemos que $|GL_{n_i}(D_i)| = (q_i^{n_1} - 1) \cdots (q_i^{n_i} - q_i^{n_i - 1}) = q_i^{n_i \choose 2} \prod_{j=1}^{n_i}(q_i^j - 1)$. Puesto que cada elemento de a $GL_{n_i}(D_i)$ ha pedido dividiendo $24 = 2^3\cdot3$, y dado que (por Cauchy) para cada divisor primo $p$ $|GL_{n_i}(D_i)|$ existe un elemento en el grupo de orden $p$, debemos tener la $|GL_{n_i}(D_i)|$ es un producto de potencias de 2 y de 3. El uso de este y de la observación de que $|GL_n(D_i)|$ divide $|GL_{n+1}(D_i)|$ por cada $n$, llegamos a la conclusión de que $n_i$ es en la mayoría de los 2 al $q_i \in \{2,3\}$ $n_i = 1$ lo contrario. Si $q_i = 2$, $|GL_2(D_i)| = 2\cdot3$ y todo sale bien. Si $q_i = 3$,$|GL_2(D_i)| = 2^4\cdot3$, y en este caso $n_i$ puede ser de 2 a condición de que el Sylow-2 subgrupo de $GL_2(D_i)$ no es cíclico. Ahora $GL_2(D_i)$ tiene 2 elementos distintos de orden 2, por lo que su Sylow-2 subgrupo no puede ser cíclico, y por lo tanto es una posibilidad. Para resumir, por lo tanto tenemos a $R \cong F_1 \times \cdots \times F_s \times M_2(G_1) \times \cdots \times M_2(G_t)$ donde $s,t$ son enteros, $F_i$ son campos de fin de 2,3,4,5,7,9,13, o 25 y $G_i$ son campos de orden 2 o 3.