¿Cómo redondear 0.4999...? ¿Es 0 o 1?

Question

Si quieres redondear el decimal periódico 0.4999... a un número entero, ¿cuál es la respuesta correcta? ¿Es 0 o 1?

Por un lado, solo se mira el primer dígito al redondear números, que en este caso es 4, por lo que la respuesta debería ser 0.

Por otro lado, 0.4999... es simplemente otra representación de 0.5, lo que hace que el resultado sea 1.

Mi pregunta
¿Cuál de estas reglas gana? (Mi intuición es que el resultado más consistente debería ser 1)

Edit
Solo para aclarar: lo que se entiende por redondeo aquí es reemplazar un número decimal fraccionario por uno con menos dígitos con el método de desempate "Redondeo hacia arriba" "Round half up".

Answer 1

Es $1$, porque $0.49\ldots$ es lo mismo que $0.5$. Si el redondeo tiene que estar bien definido, no puede mapear un número real a dos enteros, así que sea cual sea el número al que mapea $0.49\ldots$, mejor que lo haga al mismo entero que $0.5$. Por supuesto, podrías redondear ambos a $0$, pero eso no sería la forma en la que normalmente redondeamos.

Lo que esto te muestra es que el redondeo no conmuta con los límites, es decir, hay una diferencia entre encontrar el límite de una secuencia y luego redondear, y redondear primero y luego encontrar el límite. Como observaste correctamente, todos los valores $a_n = 0.4\underbrace{9\ldots 9}_{n\text{ veces}}$ se redondean hacia abajo a cero. Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty} \text{redondear }(a_n) = 0 $$ Por otro lado, $\lim_{n\to\infty} a_n = 0.5$, y así $$ \text{redondear }\left(\lim_{n\to\infty} a_n\right) = 1 $$

Hay otra palabra para funciones que no conmutan con el límite - se llaman no-continuas. Así que lo que has descubierto es simplemente que el redondeo no es una función continua.

Answer 2

Para $0\le x\le 1$, redondeamos $x$ a $1$ si $x\ge \frac12$ y a $0$ si $x<\frac12$ (aunque hay muchas convenciones, ver por ejemplo Wikipedia sobre redondeo; la sección "Dilema del fabricante de tablas" un poco más abajo también puede ser interesante). Dado que $0.4\bar9=\frac12$, deberíamos redondear a $1". Otra forma de ver esto es que siempre consideramos solo la expansión decimal estándar (es decir, preferimos $\bar0$ sobre $\bar 9$), y se nos permite tratar el primer decimal como $4$ solo si sabemos que no puede resultar en $5$ "más tarde". Por lo tanto, si una medición inexacta nos da que $0.495\le x\le0.5$, no podemos decir definitivamente cuál debería ser $\operatorname{round}(x)$ (podríamos si la medición resultara en $0.495

Answer 3

Tienes razón. Dado que $.4\bar{9}=.5,$ si quieres que tu función de redondeo esté bien definida, deberás exigir una excepción: redondear basado en el primer dígito después del que estás redondeando, a menos que sea un $4$ seguido por infinitos $9$s.

Answer 4

No es obvio que 0.5 deba redondearse a 1. Obviamente 0.49999... debería ser tratado de la misma manera porque es el mismo número. Artículo de redondeo de Wikipedia

Answer 5

Encuentro muy conveniente definir el redondeo de la siguiente manera: $$ round(x) = \left \lfloor x + \frac{1}{2}\right \rfloor$$

Teniendo en cuenta esta regla, lo que sigue es comprender el contexto. Si estás trabajando con una computadora, solo tienes un número fijo de posiciones decimales para trabajar, en cuyo caso, si x=0.4999999999999999 (16 posiciones decimales), entonces

round(x)=floor(0.4999999999999999 + 0.5)=
        =floor(0.9999999999999999)=
        =0

Por supuesto, si estás hablando de un número real, entonces 0.4999... es igual a 0.5, en cuyo caso $round(x)=1$.

Entonces, la pregunta real aquí es: ¿estás trabajando con un número fijo de posiciones decimales o no? Si la respuesta es 'sí', entonces definitivamente round(x)=0. Si la respuesta es 'no', entonces estás hablando de un número que es igual a 0.5, y $round(x)=1$