Cómo probar $\cos(n!) \neq 1$ sin usar $\pi$ es irracional

Question

Prueba $[\forall n \in \mathbb{N}, \cos(n!) \neq 1]$, sin utilizar $\pi$ es irracional.

Usando el $\pi \in (\mathbb R-\mathbb Q)$, puedo comprobarlo...

¡Gracias a todos!

Answer 1

Si $\cos(n!) = 1$ algunos $n\in\mathbb N,$ $n! = 2\pi m$ algunos $m\in\mathbb N,$ $\pi = m/(n!)$ e lo $\pi$ es racional.

Por el contrario si $\pi$ es racional, a continuación, $\pi = m/\ell$ algunos $m,\ell\in\mathbb N,$ $\ell$ es un divisor de a $n!$ algunos $n\in\mathbb N,$ entonces $\cos(n!)=1.$

Por lo tanto, la única manera de probar la $\cos(n!)\ne1$ por cada $n\in\mathbb N$ es demostrando que $\pi$ es irracional. Varias maneras de hacer que existen: https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational