Monótona secuencia

Question

Definir

$$ a_{n+1} = {1\over2\bar a_n} $$

donde $\bar a_n$ es el promedio de $a_1, \dots, a_n$$a_1 = 1$. Es fácil ver que $\lim a_n = {1\over\sqrt2}$, siempre que el límite exista. Sí, en efecto, como la secuencia es el aumento de $n>1$, salvo que yo no podía probar esta (aparentemente simples) hecho. Tenga en cuenta también que los promedios de descenso se aproximan al límite de la derecha.

He comprobado que la secuencia converge con base en:

1. La secuencia es limitada (uso de la inducción a ver que ${1\over2}\le a_n\le1$).
2. Si un subsequence $a_{n_k}$ tiene un límite de $\ell$, entonces la larga de los promedios de las $\bar a_{n_k} = (a_1 + \cdots + a_{n_k})/n_k$ también converge, y lo hace a $1\over2\ell$.
3. Idem 2, pero la eliminación de todas las $a_{n_i}$ a partir de la suma y tomando su promedio (suponga $k/n_k \to 0$ aquí).
4. Cualquier otra convergente subsequence $a_{n'_k}$ debe converger a la misma $\ell$ (quitar el $a_{n_i}$ e las $a_{n'_i}$ a partir de la suma).
5. De ello se desprende que la secuencia puede tener sólo un punto de acumulación.

La parte que he podido probar es que el $a_n$ aumenta para $n>1$.

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Adenda: el Origen del problema

Aquí voy a describir el origen de la $a_n$ de la secuencia.

En la Industria Petrolera, a veces, la velocidad a la que un bien produce depende de la velocidad a la que el agua se inyecta de nuevo en el depósito, una técnica conocida como la oquedad de reemplazo.

Puede suceder, sin embargo, que el ideal de la tasa de inyección no puede ser satisfecho. En consecuencia, se espera que la tasa de producción es reducido por un factor de $\varphi$, que es el cociente entre la oquedad de reemplazo de la fracción (total de inyección/producción total) a la oquedad de reemplazo de la fracción.

En una simulación discreta de esta técnica, se asume que la tasa de inyección es $1\over2$ de la inyección requisito de $r$. Esto significa que en cada simulación discreta paso (por ejemplo, 1 día) tenemos para penalizar el ideal de la tasa de producción $q$ según el cociente definido anteriormente. Esto es lo que sucede:

1. Empezamos con $\varphi=1$ y producir $q$ el primer día. Sin embargo, nos inyectan $r\over2$ en lugar de $r$.
2. La producción de la pena para el segundo paso es $$ \varphi = {{r/2\sobre q}\over{r\sobre q}} = {1\over2} $$ y, por tanto, de producir, de ${1\over2}q$.
3. En el tercer paso, el factor es $$ \varphi = {{r/2 + r/2\sobre p+q/2}\over{r\sobre q}} = {1\over2(1 + {1\over2})} $$

y así sucesivamente.

La secuencia resultante de los valores de $\varphi$ se comporta exactamente como nuestra definición de $(a_n)_n$. En el largo plazo, la producción es penalizado por un factor que de forma rápida y cada vez más los enfoques $1\over\sqrt2$.

Answer 1

Comienza con $\;\displaystyle \frac{n}{2a_{n+1}} = a_1+\ldots+a_{n-1}+a_n = (a_1+\ldots+a_{n-1})+a_n = \frac{n-1}{2a_{n}}+a_n\,$, entonces:

• $\;\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{n-1}{na_{n}}+\frac{2a_n}{n} \ge \sqrt{2}\,$ by induction for $\,n \ge 2\,$
  because $\,2a_n^2-\sqrt{2}n a_n + n-1$ $\displaystyle=2 \left(a_n - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(a_n - \frac{n-1}{\sqrt{2}}\right)$ $\ge 0\,$ when $\displaystyle\,a_n \le \frac{1}{\sqrt{2}}\,$

• $\;\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_{n}} = -\frac{1}{na_{n}}+\frac{2a_n}{n} \le 0\,$ since $\displaystyle\,a_n^2 \le \frac{1}{2}\,$, and therefore$\,a_{n+1} \ge a_n\,$

Answer 2

Usted pidió una prueba de la monotonía, pero usted mencionó a otros intentos para demostrar la convergencia de la secuencia, así que yo creo que puede ser interesante para dar un no uso de la monotonía.
Con $s_n=a_1+\ldots+a_n$, tenemos $$s_{n+1}=s_n+\frac{n}{2\,s_n},$$ cuadrado ambos lados da $$s^2_{n+1}=s^2_n+n+\frac{n^2}{4\,s^2_n}.\tag1$$ Esto implica $s^2_{n+1}>s^2_n+n$, es decir, $$s^2_n\ge s_1^2+\sum^{n-1}_{k=1}k=s_1^2+\frac{n(n-1)}2.\tag2$$ Plugging this into (1) gives $\displaystyle s^2_{n+1}<s^2_n+n+\frac{n}{2\,(n-1)}=s^2_n+n+\frac12+\frac1{2\,(n-1)}$, lo que significa $$s^2_n\le s^2_1+\frac{n(n-1)}2+\frac{n-1}2+\frac12\,H_{n-2}=s^2_1+\frac{n^2-1}2+\frac12\,H_{n-2},\tag3$$where $H_n$ son la armónica de los números. (2) y (3) junto con el teorema del sándwich darnos $\displaystyle\frac{s^2_n}{n^2}=\bar{a_n}^2\to\frac12$$n\to\infty$, y así tenemos el $\displaystyle a_n\to\frac1{\sqrt{2}}$.