Recuento del número de alumnos que han suspendido en las cuatro asignaturas

Question

En un examen de una determinada clase, al menos $69\%$ de los alumnos suspendió en P, al menos $72\%$ falló en C, al menos $80\%$ falló en M, y al menos $85\%$ suspendieron en B. ¿Cuántos, como mínimo, deben haber suspendido en las cuatro asignaturas?

Mi intento:

Estoy familiarizado con el tipo de preguntas en las que el exactamente el número de estudiantes se da para cada conjunto ( así ). Pero en esta pregunta, ¡se da el número mínimo de cada conjunto!

Cada intento que hago no me lleva a ninguna parte. He contado el número de alumnos que han aprobado en cada asignatura, pero sigue sin servir de nada.

Siento que me falta una línea de pensamiento específica que me lleve a la respuesta correcta. Por lo tanto, necesito pistas para realizar la idea de este problema. Gracias.

Answer 1

Me gusta mirar los complementos, ya que es más intuitivo: ¿Cuántos alumnos pueden haber aprobado al menos una asignatura? Tenemos que $31\%$ pasó P, $28\%$ pasó C, $20\%$ pasó M y $15\%$ aprobado B. Si suponemos que no hay solapamiento entre estos cuatro grupos para el porcentaje máximo de aprobados de al menos una asignatura, obtenemos que como máximo $$ 31\% + 28\% + 20\% + 15\% = 94\% $$ aprobaron al menos un examen (cualquier solapamiento entre los grupos habría restado de este total). Esto significa que al menos $6\%$ suspendido en todos los exámenes.

Answer 2

De manera más general, al Desigualdad de Bonferroni , $$P\left(\bigcup_{i=1}^NA_i^c\right)\leq \sum_{i=1}^NP(A_i^c),$$ es decir $$P\left(\bigcap_{i=1}^NA_i\right)=1-P\left(\bigcup_{i=1}^NA_i^c\right)\ge1-\sum_{i=1}^NP(A_i^c)=\sum_{i=1}^NP(A_i)-(N-1).$$ En su caso, $N=4$ y $$P\left(\bigcap_{i=1}^4A_i\right)\geq 0.69+0.72+0.80+0.85-(4-1)=0.06$$ donde $A_1,A_2,A_3,A_4$ son el conjunto de alumnos que han suspendido en P, C, M y B respectivamente.

Answer 3

La respuesta es el 6%.

En primer lugar, tomamos dos asignaturas cualesquiera para compararlas. Digamos que comparamos P y C. Tenemos un 69% de fallos en P y un 72% en C. Por tanto, el número mínimo de fallos es 69%+72%-100%=41%.

Ahora, comparamos M y B, con un 80% y un 85% de fallos respectivamente. Por tanto, el número mínimo de fallos es 80%+85%-100%=65%.

Ahora comparamos los que suspendieron P y C y los que suspendieron M y B. El número mínimo de suspensos de las 4 asignaturas es 65%+41%-100%=6%.

Nota al margen: Creo que estas letras significan física, química, biología y matemáticas.