La confusión acerca de las 1-formas como se introdujo en "Gravitación" (Kip S. Thorne,...)

Question

En el libro de la Gravitación en el capítulo 2, párrafo 5, introducen el concepto de 1-formas por el pensamiento sobre el impulso 4-vector de forma diferente.

Que introducir primero la de de Broglie 1-formulario de la siguiente manera (no entiendo la siguiente realmente bien):

supongamos que tenemos de la partícula en el espacio-tiempo. Considere la posibilidad de asociado de onda de de Broglie. Si nos difractan esto, obtenemos un patrón y esto le da a las superficies de la misma integral de las fases.

A continuación, se presenta a la 1-forma $\tilde{\mathbf{k}}$ que tiene de entrada un vector $\mathbf{v}$ en el espacio-tiempo y las salidas de un número$\langle \tilde{\mathbf{k}}, \mathbf{v}\rangle$, lo que denota el número de perfora a través de estas superficies por el vector $\mathbf{v}$.

Después de esto, definir el impulso 1 formulario a- $\tilde{\mathbf{p}}$ donde definimos la superficie las superficies de $\tilde{\mathbf{k}}$, pero multiplicado por $\hbar$. Luego dicen que si $\mathbf{p}$ es la ordinaria impulso 4-vector, a continuación,$\mathbf{p}\cdot\mathbf{v}=\langle \tilde{\mathbf{p}}, \mathbf{v}\rangle$.

Tengo que probar esto (ejercicio 2.1) el uso de la mecánica cuántica propiedades de la onda de de Broglie $\psi=\exp(i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-\omega t))$.

Puede alguien explicarme el de arriba un poco más en detalle para mí? Me parece que esta motivación para una definición de 1-formas no está tan claro. Si he entendido creo que puedo resolver el ejercicio.

Answer 1

La notación

$\renewcommand{braket}[2]{\langle #1 | #2 \rangle}$ En primer lugar vamos a definir el término "1-forma":

Una 1-forma es una función lineal que toma un único vector como argumento.

Eso es todo. No es más confuso o complicado que la sola declaración. Considere la posibilidad de un vector $v$. Dado que cualquier otro vector $w$ podemos formar el producto interior $\braket{v}{w}$. Tenga en cuenta que

$$\braket{v}{a w + b x} = a \braket{v}{w} + b \braket{v}{x} \, .$$

Por lo tanto, la función de $f_v$ definido por la ecuación

$$f_v(w) = \braket{v}{w}$$

es una función que toma un único vector y es lineal en su argumento. En otras palabras, $f_v$ es una 1-forma. A partir de esta discusión se puede ver que cualquier vector $v$ está directamente asociado a una 1-forma $f_v$ definido por la ecuación $f_v(x) = \braket{v}{x}$. Tenga en cuenta que 1-formas también son llamados covectors, y el 1 formulario a- $f_v$ asociado al vector $v$ es llamado el vector dual o simplemente doble de $v$.

Ahora cambiar a uso de negrita para los vectores para mantener consistente con el post original.

Considere la posibilidad de una onda plana expresado como $\exp[i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}]$. La cosa en el exponente es el producto interior de un vector de onda $\mathbf{k}$ con el vector de posición $\mathbf{x}$. De hecho, podemos escribir la onda en una sugerente forma \begin{align} \exp \left[ i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \right] &= \exp \left[ i \braket{\mathbf{k}}{\mathbf{x}} \right] \\ &= \exp \left[ i f_\mathbf{k}(\mathbf{x)} \right] \end{align}

donde $f_\mathbf{k}$ es una 1-forma como se describió anteriormente.

Parece que para aclarar la notación de su libro pone un $\tilde{}$ en la parte superior de los símbolos para indicar que algo es una 1-forma en lugar de un vector. En otras palabras, donde escribo $f_\mathbf{k}$ su libro escribe $\tilde{\mathbf{k}}$. De hecho, yo diría que la notación $\braket{\tilde{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}}$ utilizado por su libro no es tan bueno porque normalmente el símbolo $\braket{\cdot}{\cdot}$ es usado para denotar el producto interior de dos vectores. Es un poco extraño escribir con un 1-formulario de la izquierda. Sin embargo, podemos re-interpretar el símbolo $\braket{\tilde{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}}$ $\braket{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}$ o $f_\mathbf{k}(\mathbf{x})$.

Significado físico

Ahora discutiremos el significado físico de $\tilde{\mathbf{k}}$. Como su libro dice que, cuando se alimenta al este de 1 forma un vector $\mathbf{v}$, lo que nos dice el número de ciclos que la onda pasa a través de como se mueve por el desplazamiento $\mathbf{x}$. Es una 1-forma por la simple razón de que se come un vector y produce un número, y es lineal en el argumento. Eso es todo, es sólo una definición. Como su libro lo dice, usted puede imagen de la 1-forma $\tilde{\mathbf{k}}$ como un conjunto de planos porque al contar el número de planos atravesados por una $\mathbf{x}$ da el mismo resultado como $\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}$, como se muestra en el diagrama.

Resumen

1. Una 1-forma es sólo una función lineal de un vector.

2. Cada vector $v$ se asocian únicamente a un 1 formulario a- $f_v$ definido por la ecuación $f_v(x) = \braket{v}{x} = v \cdot x$.

3. Una imagen geométrica de la 1-forma $f_k$ es una serie de planos paralelos separados por la distancia de $2 \pi / |k|$, y el número de $f_k(x)$ es el número de planos atravesados por el vector $x$.

Answer 2

Supongamos que usted tiene una sesgada sistema de coordenadas, con los vectores que tienen componentes $v^i$ define en relación a algunos de los vectores de la base $\hat e_i$ tal que $\vec v = v^i \hat e_i$ en el convenio de sumación de Einstein (nos suma por encima de cualquier índice que se repite una vez arriba, una vez abajo).

El significado de una sesgada sistema de coordenadas es que $\hat e_i \cdot \hat e_j \ne \delta_{ij}$ para el delta de Kronecker $\delta_{ij} = \{1\text{ if }i = k,\text{ else } 0\}.$ Este se mete con nuestro buen producto escalar de la fórmula; no hay más que podemos decir con gran facilidad$$\vec u\cdot\vec v = \sum_i u^i~v^i$$because that is no longer true. Instead, we have:$$\vec u\cdot\vec v = u^i~v^j~(\hat e_i \cdot \hat e_j)$$ which means there is a symmetric matrix $g_{ij} = \hat e_i \cdot \hat e_j$ que rige estas interior de los productos. Esta matriz se llama la métrica.

La métrica es simétrica y tiene una matriz inversa se puede escribir como $g^{ij}$ definido por $g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k$, donde ahora tenemos una "correcta" de Kronecker $\delta$ expresión. Esto puede ser usado para definir la base dual$$\hat e^k = g^{ki}~\hat e_i,$$having the defining property that $\sombrero de e^i \cdot \hat e_j = \delta^i_j.$In other words, to find the vector dual to $\sombrero e_1$, we find a vector $\vec u^1$ which is perpendicular to $\hat e_2, \hat e_3, \dots$ and then scale it to $\hat e^1 = k~\vec u^1$ by choosing $k$ such that $\hat e^1 \cdot \hat e_1 = 1$. [If you do not like matrix inversion or you are doing all of this in a nonflat space, if that space has an orientation (an antisymmetric tensor which is a linear map from $n$ vectors to a scalar, where $$ n es la dimensión de la tangente espacios), se puede utilizar para crear un formulario que tiene los mapas de los otros vectores de la base a cero.]

Entonces el vector de $\vec u = u^i ~\hat e_i$ también puede ser escrito como $u_i~\hat e^i$ donde $u_i = g_{ij} u^j$ y el producto escalar es agradable, sencillo formulario puede ser restaurado como $$\vec u \cdot \vec v = u_i v^i = u^i v_i.$$ Ahora, cuando usted comienza a escribir expresiones familiares en una red cristalina, $$\psi = e^{i(~\vec k~\cdot~\vec x ~-~ \omega~t~)}$$With our new formalism we'd express your position vector $\vec x = x^i ~\hat e_i$ and so the natural "space" that your wavenumbers live in is the dual space. This is also the natural space for derivatives, it turns out: the differential of a function is still $$df = f(\vec x + d\vec x) - f(\vec x) \approx \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} ~ dx^i $$ which means that the components $\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)_{\{x^j,j\ne i\}}$ (partial derivatives with respect to $x^i$ holding all of the other $x^j$ constant) must transform like the covectors transform, so that this can be written simply as $$df = (\partial_i f)~dx^i.$$The typical quantum momentum operator is $\sombrero p_i = -i~\manejadores\partial_i$. Applying this as $p_a = -i \manejadores \partial_a \exp\left[i~\big(k_b x^b - \omega t\big)\right]$ gives a covector momentum which acts on $v$ like $\langle p, v\rangle$.

No estoy 100% seguro de si eso ayuda, pero espero que eso te da una idea de cómo la idea de la doble espacios se conecta a la física. Además, si usted está interesado en el uso de Einstein sumatorias sin referencia explícita a las coordenadas, hay algo que se llama "índice resumen de la notación" que usted debe mirar hacia arriba.

Precaución: muchos textos de física del estado sólido definir $\hat e^i \cdot \hat e_j = 2\pi~\delta^i_j$, para salvar a un $2\pi$ en algunas expresiones exponenciales. Tenga cuidado cuando vea estas cosas.

Answer 3

El nombre "1-formulario" sólo se usa porque hay 2 formas-y 3-formas y así sucesivamente. Un equivalente, pero probablemente el mejor nombre 1-formas en este caso es el de la "doble vector". Cualquier espacio vectorial se han asociado con el doble de espacio que consta de todas las funciones lineales que mapa de vectores escalares.

Todo esto es un vector dual es: una cosa que linealmente mapas de vectores escalares.

Pero a la gente le gusta tener ayudas visuales. Atengámonos a 2D. Si usted piensa de vectores como las flechas, hay un análogo de la imagen de los vectores duales como las líneas de contorno. O más bien, si la colección de muchas flechas representa el vector de campo, la recopilación de muchas líneas de contorno que representa un doble campo de vectores.

En particular, para finito-dimensional espacios vectoriales no es natural bijection entre el espacio y el espacio dual: Cada vector está asociado con un único vector dual y viceversa. El doble campo de vectores asociado con un vector de campo está representado por los contornos ortogonal al vector del campo de flechas. Por el contrario, si usted comienza con un gráfico de contorno que representa un doble campo de vectores y dibujar flechas ortogonal a ella con una longitud proporcional para el contorno de densidad, usted tiene la flecha de la representación de los asociados de campo vectorial.

En esta imagen de las flechas y los contornos, la acción de un doble campo vectorial sobre un campo de vectores es el campo escalar que mide cuántos contornos son atravesados por la flecha. Si los contornos están más cerca (el doble que los vectores son más grandes), o con las flechas son más largos (los vectores son más grandes), el resultado será un número mayor. Si las flechas apuntan en gran medida a lo largo de los contornos, los campos están malalineados y el resultado es menor (recordemos que esto significa que las flechas asociadas con los contornos, el cual es perpendicular a los contornos, sería perpendicular a la original flechas).

La maquinaria puede parecer un poco arrogante, ya que en la geometría Euclidiana no es realmente ningún beneficio para el uso de contornos en lugar de sus asociados flechas. Pero con que no es plano métricas de la conexión entre los vectores y vectores duales se vuelve menos trivial. Por supuesto, a continuación, las imágenes tienden a no trabajar tan bien.