¿Existe una cubierta contable de $\mathbb{R}^2$ por bolas $B(x_n, n^{-1/2})$ ?

Question

¿Es posible cubrir todos los $\mathbb{R}^2$ usando bolas $\{ B(x_n,n^{-1/2})\}_{n=1}^\infty$ de radio decreciente $n^{-1/2}$ ? Sé que si elegimos, por ejemplo, el radio $n^{-1}$ nunca podría funcionar porque $\sum \pi (n^{-1})^2 < \infty$ . Pero en este caso las bolas cubren un área infinita, por lo que parece que puede ser posible construir.

Edición: Definitivamente se puede hacer con bolas de radio $n^{-1/2+\epsilon}$ para cualquier $\epsilon > 0$ .

Answer 1

Sí, se puede hacer.

Dejemos que $n\in\mathbb N$ Considera que $m\in\{1,\dots n\}$ , y establecer $$a(n,m)=n^2+(m-1)n.$$ Tenga en cuenta entonces que $$\sum_{k=a(n,m)+1}^{a(n,m+1)}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq\sum_{k=a(n,m)+1}^{a(n,m+1)}\frac{1}{\sqrt{n^2+mn}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+mn}}\geq\frac{n}{\sqrt{n^2+n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Por lo tanto, si consideramos los cuadrados adyacentes, esto demuestra que podemos cubrir la franja $\left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\times\left[0,\frac{1}{n\sqrt{2}}\right]$ por cuadrados de la forma $$S\left(x_{a(n,m)+1},\frac{1}{\sqrt{a(n,m)+1}}\right),S\left(x_{a(n,m)+2},\frac{1}{\sqrt{a(n,m)+2}}\right),\dots,$$$$ S\left(x_{a(n,m+1)},\frac{1}{\sqrt{a(n,m+1)}}\right), $$ for any fixed $ m\in{1,\npuntos n\\nbsp} $. If we now repeat this process for the strips $$ \left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\times\left[\frac{1}{n\sqrt{2}},\frac{2}{n\sqrt{2}}\right],\,\,\left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\times\left[\frac{2}{n\sqrt{2}}, \frac{3}{n\sqrt{2}}\right],\dots\left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\times\left[\frac{n-1}{n\sqrt{2}},\frac{n}{n\sqrt{2}}\right], $$ this shows that we can always cover the square $ \left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]^2 $ by squares of the form $ S(x_i,i^{-1/2}) $, for $ i\n{n^2,n^2+1,\npuntos 2n^2\}$.

Repitiendo este proceso para todos los $n\in\mathbb N$ y moviendo las casillas en $\mathbb R^2$ En realidad, tenemos una cobertura de todos los $\mathbb R^2$ en ese sentido. Entonces obtenemos una cobertura por bolas circunscribiendo una bola fuera de cada uno de los cuadrados.

Answer 2

Con los discos centrados en un $n{+}1\times n{+}1$ de la red, podemos cubrir $[0,1]^2$ con $(n+1)^2$ discos de radio $\frac1{n\sqrt2}$ .

Por lo tanto, podemos cubrir $[0,1]^2$ con $\left(\left\lceil\sqrt{\frac n2}\,\right\rceil+1\right)^2$ discos de radio $\frac1{\sqrt{n}}$ .

Para $n\ge294$ , $\left(\left\lceil\sqrt{\frac n2}\,\right\rceil+1\right)^2\le\frac23n$ . Así, hemos demostrado

Para $n\ge294$ podemos cubrir $[0,1]^2$ con un máximo de $\frac23n$ discos de radio $\frac1{\sqrt{n}}$ .

Enumerar las casillas $\big\{[i,i+1]\times[j,j+1]:i,j\in\mathbb{Z}\big\}=\big\{S_k:k=1,2,3,\dots\big\}$

Portada $S_k$ con $196\cdot3^{k-1}$ discos con radios de $\frac1{\sqrt{98\cdot3^{k-1}+1}}$ a $\frac1{\sqrt{294\cdot3^{k-1}}}$ .

Answer 3

Es cierto para cualquier $r_n$ con $\sum r_n^2=\infty$ .

Diga $S(x,r)$ es el cuadrado con centro $x$ y la longitud del lado $r$ . Es suficiente para demostrar que si $\sum r_n^2>4$ entonces existe $x_n$ tal que $S(x_n,r_n)$ cubre $[0,1]^2$ .

Por cada $n$ existe $j$ con $2^{-j}\le r_n<2^{-j+1}$ . Sustituir $r_n$ con $2^{-j}$ :

Basta con demostrar que si cada $r_n$ es de la forma $2^{-j}$ y $\sum r_n>1$ entonces existe $x_n$ tal que $S(x_n,r_n)$ cubren el cuadrado de la unidad.

A intervalo diádico es un intervalo $[j2^{-n},(j+1)2^{-n}]$ . A cuadrado diádico es el producto de dos intervalos diádicos con la misma longitud de lado.

Comienza: Si existe $n$ con $r_n\ge1$ hemos terminado. Supongamos que no. Dividir $[0,1]^2$ en cuatro cuadrados diádicos de lado $1/2$ . Llámalos $Q$ 's.

Si hay cuatro $n$ tal que $r_n=1/2$ hemos terminado. Supongamos que no. Cubre todos los $Q$ como sea posible con $S(x_n,r_n)$ con $r_n=1/2$ .

Descartar el $r_n$ que acabamos de utilizar. Tenga en cuenta que utilizamos todo el $r_n$ que igualan $1/2$ . Descartar el $Q$ que acabamos de cubrir. Dividir cada una de las $Q$ en cuatro subcuadrados de lado $1/4$ .

Si hay suficientes $n$ con $r_n=1/4$ para cubrir todo el remanente $Q$ hemos terminado. Supongamos que no. Cubre todos los $Q$ como sea posible con $S(x_n,r_n)$ donde $r_n=1/4$ . Tenga en cuenta que hemos utilizado todo el $r_n$ que igualan $1/4$ . Descartar esos $r_n$ , descartar el $Q$ que acabamos de cubrir. Dividir cada una de las $Q$ en cuatro suubcuadros de lado $1/8$ .

Etc.

Si en algún momento terminamos, entonces terminamos. Supongamos que no. Entonces hemos utilizado todo el $r_n$ que cubren subcuadros esencialmente disjuntos de $[0,1]^2$ Por lo tanto $\sum r_n^2\le 1$ .