Puede que dos conjuntos tienen el mismo SOY, GM, ¿HM?

Question

Pueden dos conjuntos de números(del mismo tamaño) tienen la misma aritmética , geométrica y la media armónica ? Cuando digo diferentes deben diferir en menos $1$ elemento y también ¿qué pasa si no ser de los distintos elementos?

Answer 1

Sí. Por ejemplo, decir $r_1, r_2, r_3, r_4$ son soluciones de la ecuación de $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$. Entonces $$(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \, ;$$ mediante la expansión de la mano izquierda, se puede ver que \begin{eqnarray} a &=& -(r_1+r_2+r_3+r_4) \\ c &=& -(r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4)\\ d &=& r_1r_2r_3r_4 \end{eqnarray} (También se puede obtener una expresión similar para $b$, pero no nos importa en este momento.)

Así que la media aritmética es $\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{4}=\frac{-a}{4}$, la media geométrica es $\sqrt[4]{r_1r_2r_3r_4}=\sqrt[4]{d}$, y la media armónica es $\frac{4r_1r_2r_3r_4}{r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4}=\frac{-4d}{c}$.

Es decir, la aritmética, geométrica y armónica de los medios de $r_1$, $r_2$, $r_3$, y $r_4$ no dependen $b$. Por otro lado, el conjunto de $\{r_1,r_2,r_3,r_4\}$ sí depende mucho de $b$. Así que usted puede conseguir una familia infinita de 4-elemento de los conjuntos con los mismos tres medios sólo por la elección de diferentes $b$s.

Answer 2

Sí. De hecho, usted puede encontrar soluciones en los enteros.

$\{-4, -3, 1, 3, 4\}$

$\{-6, -2, 1, 2, 6\}$