Un ejemplo de conjunto que no es Souslin conjunto

Question

DEFINICIÓN

Deje $X$ ser un espacio topológico. Un conjunto $B \subseteq X$ se llama Souslin establecer si hay una familia de conjuntos cerrados $\{F_s|s \in \mathbb{N}^{<\mathbb{N}} \}$ $X$ tal que $$B=\bigcup_{\sigma \in \mathbb{N^N}} \bigcap_{n=1}^{\infty} F_{\sigma\upharpoonright n}$$

Pregunta

Yo sé que un contable intersección de conjuntos cerrados o contables de la unión de conjuntos cerrados es Souslin conjunto. Quiero encontrar un ejemplo de un conjunto que no es Souslin conjunto. En primer lugar, supongo que $A=[0,1) \subseteq \mathbb{R}$ no es Souslin conjunto, sino $A$$F_\sigma.$, Entonces, mi suposición no es cierto. Cómo construir un conjunto que no es Souslin? Cualquier sugerencia se agradece. Muchas gracias.

Answer 1

Usted puede encontrar una prueba de esto en Kechris' Clásico Descriptivo de la Teoría de conjuntos, Teorema 14.2 en combinación con el Teorema de 25.7.

Deje $\mathcal{N}$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ interpretarse como el producto topológico de countably muchas copias de $\mathbb{N}$ con la topología discreta. Teorema de 25.7 muestra que un subconjunto de a $\mathcal{N}$ es Souslin si y sólo si es analítica, es decir, la imagen continua de un separables completamente metrizable espacio.

Ahora el Teorema 14.2 establece que existe una analítica set $A\subseteq\mathcal{N}$ que no es Borel. En el transcurso de la prueba, se muestra que la $\mathcal{N}\setminus A$ no es analítica, por lo que este es un ejemplo muy contundente: no analítica conjunto con la analítica de complemento.

En cualquier caso, la cardinalidad argumento por Andreas Blass anterior es muy simple: Cada analítica subconjunto de $\mathcal{N}$ está determinado por una contables de la familia de conjuntos cerrados. Ya que hay exactamente $2^{\aleph_0}$ de este último, ha $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} =2^{\aleph_0}$ analítica de subconjuntos de a $\mathcal{N}$, por lo tanto, hay $2^{2^{\aleph_0}}$ no analítica de los subconjuntos.

Ambos argumentos ir a través de cada separables completamente metrizable innumerables espacio.