Concurso de Matemáticas de la Geometría del problema relacionado con la Tangente de un círculo

Question

$2009$ círculos concéntricos están dibujados con radios de $1$ unidad $2009$ unidades. Desde un punto sobre el círculo más externo, tangentes son atraídos al interior de los círculos. Descubrir el número de tangentes que se han entero medida en el problema.

Mi enfoque del problema es que, dado que la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto. Esto significa que yo podría encontrar todas las de Pitágoras trillizos con $2009$ como una medida. Sin embargo, yo no estaba llegando a ningún lado con ese enfoque.

Answer 1

Voy a utilizar el enfoque de ternas Pitagóricas $a^2+b^2=c^2=2009^2$. En cualquier primitiva triple ($a,b,c$ son coprime), todos los factores primos de a $c$ son de la forma $4k+1$, pero $2009=7×7×41$. Por lo tanto los valores de $a$ $b$ deben ser múltiplos de 49, y obtenemos $$(49c)^2+(49d)^2=(49\cdot41)^2$$ $$c^2+d^2=41^2$$ donde $c$ $d$ son coprime. Ahora sólo hay dos soluciones para $(c,d)$, $(9,40)$ y $(40,9)$. Por lo tanto el número de las tangentes con el entero de longitudes también es de dos, y estos son de longitudes $49\cdot9=441$$49\cdot40=1960$.

Answer 2

A partir de la Tangente Secante Teorema se puede decir que si $t_r$ es la longitud de la tangente a la $r^{th}$ marque uno con un círculo con un radio de $r$, $$t_r^2=2009\times 2r$$ Tan sólo tendrá que encontrar los números enteros, $1\le r\le2009$ tal que $2009\times 2r$ es un cuadrado perfecto.