Cuál es el valor exacto de $\sqrt{-3+2\sqrt{-5+3\sqrt{-7+4\sqrt{-9+\dots}}}}$

Question

¿Cuál es el valor exacto de $$R=\sqrt{-3+2\sqrt{-5+3\sqrt{-7+4\sqrt{-9+\dots}}}}$$
Traté de resolverlo como $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}$, es decir, traté de encontrar la secuencia de la función de esta expresión. Tengo que para $x=1$ expresión se convirtió en $$R=x\sqrt{-2x-1+(x+1)\sqrt{-2x-3+(x+2)\sqrt{-2x-5+\dots}}}$$ Ahora es obvio que $$f(x)=x\sqrt{-2x-1+f(x+1)}$$ para algunos la función $f$ tal que $R=f(1)$. El problema es cómo resolver esta ecuación de recurrencia. Después de que el cuadrado de los dos lados, se vuelven más complicadas. Hay una manera fácil de resolver esta ecuación de recurrencia. Si usted tiene una mejor solución, por favor explique cómo encontrar el valor exacto de $R$.

Answer 1

Anidado Radical

$$ c_0 = (n + a)^2 \quad {\small\textit{añadido para la concisión}}\\ x + n + a = \sqrt{c_0 + ax + x\sqrt{c_0 + a(x + n) + (x + n)\sqrt{c_0 + a(x + 2n) + (x + 2n)\sqrt{...}}}} $$

Esta ecuación fue descubierto por Ramanujan.

Su ecuación es un caso de este tipo de anidado radical con $x = 2,\ n = 1,\ a = -2$.

$$ x + n + a = 1 $$

Answer 2

Arce está de acuerdo en que esto converja a $1$ (o algo muy cerca de $1$).
La trama muestra $z_1=\sqrt{-3}$, $z_2=\sqrt{-3+2\sqrt{-5}}$ y tan en (uniendo en orden segmants de línea):

añadido

Nota que $f(x)=x^2$ resuelve la ecuación de diferencia que se debe utilizar: $$ f (x) = x\sqrt{-2x-1+f(x+1)} $$