Es $i\notin \mathbb{Q}(\zeta_p)$ para todos los impares primos $p$?

Question

Mi principal pregunta es la del título: por un extraño prime $p$, denotan una primitiva $p^{\text{th}}$ raíz de la unidad por $\zeta_p$. Es cierto que $i$ no está incluido en la cyclotomic extensión de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$? Si esto es cierto, es la siguiente prueba correcta, y si no es cierto, ¿de dónde viene la siguiente prueba de salto de abajo:

Recordemos que el único cuadrática subcampo de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm p})$ donde hay un $"+"$ $p\equiv 1 \mod 4$ $"-"$ si $p\equiv 3 \mod 4$ (Fuente: ejercicio 11 de la sección 14.7 de Dummit y Foote). Suponemos que, al contrario,$i \in \mathbb{Q}(\zeta_p)$. A continuación, $\mathbb{Q}(i)$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbb{Q}$ de grado 2 contenido en $\mathbb{Q}(\zeta_p)$. Pero esto produce una contradicción inmediata ya que de curso $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm p}) \neq \mathbb{Q}(i)$. Por lo $i\notin \mathbb{Q}(\zeta_p)$.

Answer 1

Otra prueba: si $i\in{\mathbb Q}(\zeta_p)$${\mathbb Q}(i\zeta_p) \subseteq {\mathbb Q}(\zeta_p)$. Pero $i\zeta_p$ es una primitiva $(4p)$th raíz de la unidad, por lo que tenemos un campo de grado $\phi(4p)=2(p-1)$ $\mathbb Q$ contenida en un campo de grado $\phi(p)=p-1$$\mathbb Q$, una contradicción.