Qué nos dice aquí la matriz métrica G

Question

Dejemos que $\phi:U \rightarrow S \subseteq \mathbb{R}^3$ sea un gráfico de $U \subseteq \mathbb{R}^2$ a una superficie $S$ . $G = g_{ij}$ sea la matriz métrica tal que $ g_{ij} = \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \cdotp \frac{\partial \phi}{\partial x_j}$ .

¿Qué información $G$ ¿nos da?

Edición: He descubierto que si dos mapas del mismo $U$ tienen el mismo $G$ entonces existe una isometría entre ellas. Sin embargo, esto no aumenta mi comprensión geométrica de $G$ .

Answer 1

Su matriz métrica $G$ también se denomina a veces primera forma fundamental (para superficies en $\mathbb{R}^{3}$ ), o, más generalmente, como tensor métrico .

Esta matriz se utiliza para definir producto interior en todos los planos tangentes de $S$ . Como puede imaginarse, la definición del producto interior abre un gran número de aplicaciones para $G$ . Saber definir el producto interior nos permite hacer uso del concepto de ortogonalidad, medir ángulos entre vectores (tangentes), inducir la norma, ¡y mucho, mucho más!

La limitadísima lista de cosas que puedes hacer con $G$ incluye

• calcular la longitud de una curva en la superficie
• calcular el área de una región adecuadamente definida de la superficie
• expresan derivadas direccionales de funciones definidas en $S$
• $\cdots$

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Permítanme también enumerar algunas propiedades interesantes del tensor métrico:

• si $G$ es positivo-definido, entonces $S$ es un Manifiesto riemanniano
• el determinante $\left| \det(G) \right|$ es igual al volumen del paralelepípedo abarcado por los vectores base del espacio tangente
• así $\left| \det(G) \right|$ aparece al calcular los volúmenes o al integrar sobre el volumen
• tensor métrico $G$ permite calcular líneas geodésicas entre dos puntos cualesquiera de $S$ .
  • La noción de espacio y de geodésica permite ver la variedad riemanniana $S$ como espacio métrico
• El tensor métrico se utiliza para definir Conexión Levi-Civita
  • esto significa que la noción de transporte paralelo puede introducirse en la superficie $S$
• el tensor métrico es invariante bajo la elección del sistema de coordenadas
• la elección del tensor métrico no es única
• $\cdots$