Así que, básicamente, la pregunta es: Vamos a $K$ ser la división de campo de la $t^5-2$ (sobre los racionales). Deje $\theta=\sqrt[5]{2}$, e $\eta$ una primitiva $5$-ésima raíz de la unidad. Primero tomamos nota de que la división de campo de la $t^5-2$ está dado por $K=\mathbb{Q}(\eta,\theta)$. Desde $\theta$ es una extensión de grado $5$ $\eta$ grado $4$, $K$ es una extensión de grado $20$. Definir $\tau$ a ser el automorphism que corrige $\theta$ y mapas de $\eta$$\eta^2$. A continuación, el orden de $\tau$$4$. También, definir $\sigma$ a ser el automorphism fijación $\eta$ y la asignación de $\theta$$\eta\theta$. Entonces podemos ver que $\sigma$ es de orden $5$. Ya he construido el entramado para el grupo de Galois, pero ahora estoy tratando de construir el entramado de los correspondientes campos fijos.
Por definición tenemos que $\langle\sigma\rangle$ $\mathbb{Q}(\eta)$ como un campo fijo. Tenga en cuenta que $\langle \sigma,\tau^2\rangle$ es un subgrupo de $\langle \sigma, \tau\rangle=G(K/\mathbb{Q})$ que contiene $\langle \sigma\rangle$, por lo que el campo fijo de $\langle \sigma,\tau^2\rangle$ debe ser un intermedio campo contenida en $\mathbb{Q}(\eta)$ (ya que la correspondencia entre galois de subgrupos y de los campos fijos es el fin de revertir), pero no puedo averiguar lo que el campo fijo de $\langle \sigma,\tau^2\rangle$ es. Al principio pensé que era $\mathbb{Q}(\eta^i)$ algunos $i$, y lo trivial tiene que $\sigma$ hojas de $\eta^i$ sin cambios y $\tau^2(\eta^i)=\eta^i$, pero esto no funciona ya $\tau^2(\eta)=\eta^4$, $\tau^2(\eta^2)=\eta^3$, $\tau^2(\eta^3)=\eta^2$ y $\tau^2(\eta^4)=\eta$.
Entonces, ¿qué sería entonces el campo fijo de $\langle \sigma,\tau^2\rangle$?
