Algunos antecedentes: Estoy cursando Análisis Matricial, y mi profesor parece pensar que los espacios vectoriales son fundamentales para todas las matemáticas. ¿Cuáles son algunas aplicaciones interesantes de otras áreas de las matemáticas (o del mundo exterior) que surgen de los módulos, pero son no ¿aplicaciones de los espacios vectoriales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Chilote
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Es posible que conozcas la importancia de la forma normal de Jordan de una matriz. Si no es así, puedes buscarla en Google y comprobar el hecho de que toda matriz cuadrada tiene una única representación como la matriz más parecida a una matriz diagonal, es muy útil para las resoluciones de enormes sistemas de ecuaciones. Bien, para demostrar esto, puedes considerar un espacio vectorial sobre un campo k como un módulo k[x] y utilizar una batería de resultados de módulos R para un anillo R.
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Es menos una aplicación que una equivalencia, pero los grupos abelianos son lo mismo que $\mathbb{Z}$ -módulos.
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Partiendo del comentario de hardmath, la cohomología integral (que, para cada grado, es un grupo abeliano, pero no un espacio vectorial) de una variedad suave es un objeto de importancia en la geometría simpléctica, algebraica y compleja. Por ejemplo, es una fuente de las clases de Chern (características) de los haces vectoriales complejos.
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Se puede presentar una enorme cantidad de álgebra lineal clásica utilizando módulos sobre PIDs. Las representaciones de grupos son básicamente módulos sobre anillos de grupos.